Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{5 n}{n + 3}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $n$ .

$\frac{5 \cdot 1}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Étape 2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Étape 2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Étape 2.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Étape 2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Étape 2.5.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{5} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Étape 2.5.3

Divisez $10$ par $5$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun à $15$ et $3 + 3$ .

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Étape 2.5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Étape 2.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 (1) + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Étape 2.5.4.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Étape 2.5.4.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1 + 3 \cdot 1$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Étape 2.5.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Étape 2.5.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{1 + 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Étape 2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{4 + 3}$

Étape 2.5.6

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Étape 2.6

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{7}{7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Étape 2.6.2

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Étape 2.6.3

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Étape 2.6.4

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} \cdot \frac{28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Étape 2.6.5

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Étape 2.6.6

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} \cdot \frac{14}{14} + \frac{20}{7}$

Étape 2.6.7

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7}$

Étape 2.6.8

Multipliez $\frac{20}{7}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.6.9

Multipliez $\frac{20}{7}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Étape 2.6.10

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Étape 2.6.11

Multipliez $2$ par $14$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Étape 2.6.12

Réorganisez les facteurs de $7 \cdot 4$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{4 \cdot 7}$

Étape 2.6.13

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{28}$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 \cdot 7 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Étape 2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{35 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $28$ .

$\frac{35 + 56 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Étape 2.8.3

Multipliez $5$ par $14$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 20 \cdot 4}{28}$

Étape 2.8.4

Multipliez $20$ par $4$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 80}{28}$

Étape 2.9

Additionnez $35$ et $56$ .

$\frac{91 + 70 + 80}{28}$

Étape 2.10

Additionnez $91$ et $70$ .

$\frac{161 + 80}{28}$

Étape 2.11

Additionnez $161$ et $80$ .

$\frac{241}{28}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{241}{28}$

Forme décimale :

$8.60714285 \dots$

Forme de nombre mixte :

$8 \frac{17}{28}$