Calcul infinitésimal Exemples

$y = t \ln^{2} (1 t)$

Étape 1

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [t \ln^{2} (t)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = \ln^{2} (t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)] + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \ln (t)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (t)$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (t)$ .

$t (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4

La dérivée de $\ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t}$ .

$t (2 \ln (t) \frac{1}{t}) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{t}$ et $2$ .

$t (\frac{2}{t} \ln (t)) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1

Associez $\frac{2}{t}$ et $\ln (t)$ .

$t \frac{2 \ln (t)}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.2.2

Associez $t$ et $\frac{2 \ln (t)}{t}$ .

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.2.3.2

Divisez $2 \ln (t)$ par $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \cdot 1$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Multipliez $\ln^{2} (t)$ par $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t)$

Étape 5.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$