Calcul infinitésimal Exemples

$(2 t - 1) {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = 2 t - 1$ et $g (t) = {(6 t - 5)}^{- 1}$ .

$(2 t - 1) \frac{d}{d t} [{(6 t - 5)}^{- 1}] + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 6 t - 5$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 t - 5$ .

$(2 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(2 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 t - 5$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 t - 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Étape 3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6 t$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Étape 3.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Étape 3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 + 0)) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} \cdot 6) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Étape 3.6.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 + 0)$

Étape 3.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} \cdot 2$

Étape 3.12.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(6 t - 5)}^{- 1}$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + 2 \cdot {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 6 {(6 t - 5)}^{- 2} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{{(6 t - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t) - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2.5

Multipliez $- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t)$ .

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2.5.2

Associez $- 2$ et $\frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 6}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2.5.3

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$\frac{- 12}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2.5.4

Associez $\frac{- 12}{{(6 t - 5)}^{2}}$ et $t$ .

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2.6

Multipliez $- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + 1 \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2.6.2

Multipliez $\frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Étape 4.2.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 \frac{1}{6 t - 5}$

Étape 4.2.9

Associez $2$ et $\frac{1}{6 t - 5}$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2}{6 t - 5}$

Étape 4.3

Pour écrire $\frac{2}{6 t - 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6 t - 5}{6 t - 5}$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2}{6 t - 5} \cdot \frac{6 t - 5}{6 t - 5} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(6 t - 5)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{2}{6 t - 5}$ par $\frac{6 t - 5}{6 t - 5}$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{(6 t - 5) (6 t - 5)} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Élevez $6 t - 5$ à la puissance $1$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1} (6 t - 5)} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Élevez $6 t - 5$ à la puissance $1$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1} {(6 t - 5)}^{1}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1 + 1}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 12 t + 2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 12 t + 2 (6 t - 5) + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 12 t + 2 (6 t) + 2 \cdot - 5 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.7.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{- 12 t + 12 t + 2 \cdot - 5 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.7.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{- 12 t + 12 t - 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.8

Additionnez $- 12 t$ et $12 t$ .

$\frac{0 - 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.9

Soustrayez $10$ de $0$ .

$\frac{- 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.10

Additionnez $- 10$ et $6$ .

$\frac{- 4}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Étape 4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{{(6 t - 5)}^{2}}$