Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (q) - \cos (q)}{\sin (q)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ est $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ où $f (q) = \sin (q) - \cos (q)$ et $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) - \cos (q)] - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (q) - \cos (q)$ par rapport à $q$ est $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3

La dérivée de $\sin (q)$ par rapport à $q$ est $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $- \cos (q)$ par rapport à $q$ est $- \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Étape 5

La dérivée de $\cos (q)$ par rapport à $q$ est $- \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - - \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Étape 6

Multipliez.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + 1 \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Étape 6.2

Multipliez $\sin (q)$ par $1$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Étape 7

La dérivée de $\sin (q)$ par rapport à $q$ est $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - (\sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) + (- \sin (q) - - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - \sin (q) \cos (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Associez les termes opposés dans $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - \sin (q) \cos (q) - - \cos (q) \cos (q)$ .

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Étape 8.4.1.1

Soustrayez $\sin (q) \cos (q)$ de $\sin (q) \cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) \sin (q) + 0 - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.1.2

Additionnez $\sin (q) \sin (q)$ et $0$ .

$\frac{\sin (q) \sin (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.2.1

Multipliez $\sin (q) \sin (q)$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Élevez $\sin (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (q) \sin (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.2.1.2

Élevez $\sin (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (q) \sin^{1} (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (q)}^{1 + 1} - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.2.2

Multipliez $- - \cos (q)$ .

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Étape 8.4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + 1 \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.2.2.2

Multipliez $\cos (q)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.2.3

Multipliez $\cos (q) \cos (q)$ .

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Étape 8.4.2.3.1

Élevez $\cos (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{1} (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.2.3.2

Élevez $\cos (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{1} (q) \cos^{1} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (q) + {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.4.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1}{\sin^{2} (q)}$

Étape 8.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ à $\csc^{2} (q)$ .

$\csc^{2} (q)$