Calcul infinitésimal Exemples

${(x - y)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(x - y)}^{2}$ comme $(x - y) (x - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(x - y) (x - y)]$

Étape 2

Développez $(x - y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [x (x - y) - y (x - y)]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]$

Étape 3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]$

Étape 3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]$

Étape 3.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]$

Étape 3.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

Étape 3.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

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Étape 3.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

Étape 4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 5

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 7

Comme $- 2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $y$ est $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 x + 2 y$