Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 1) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + 0) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.7

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.11.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 (x^{2} - 4 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) + (- 2 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.1

Développez $(x^{2} + 1) (2 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.3.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 4) + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.3.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.3.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.3.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.1.3.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 0 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2.2

Additionnez $- 4 x^{2} + 2 x - 4$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2.4

Additionnez $- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.3

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 4$ .

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Étape 2.1.3.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) + 4 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 2.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5

Différenciez.

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Étape 2.2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.8.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.5.8.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.5.8.4.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.7

Différenciez.

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Étape 2.2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.7.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.7.5

Associez les fractions.

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Étape 2.2.7.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.7.5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.7.5.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.7.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Étape 2.2.7.5.3

Associez $4$ et $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8

Simplifiez

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Étape 2.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.8.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.8.4.1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.2

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.7.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5}) + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.9.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.9.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.9.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.10

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.11

Développez $(- 4 x - 4) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.12.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.12.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.12.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.12.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.12.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.12.2

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.12.3

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.13

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.13.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.13.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.13.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.13.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.13.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.13.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.14

Développez $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.15

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.15.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.15.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.15.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.15.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.15.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.15.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.15.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.15.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1.15.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.15.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.15.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.15.2

Additionnez $- 4 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.15.3

Additionnez $- 4 x^{5}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5}) + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.17

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.1.18

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.2

Soustrayez $16 x^{5}$ de $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.4.3

Additionnez $8 x$ et $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.8.5.1

Factorisez $8 x$ à partir de $- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x$ .

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Étape 2.2.8.5.1.1

Factorisez $8 x$ à partir de $- 8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.1.2

Factorisez $8 x$ à partir de $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.1.3

Factorisez $8 x$ à partir de $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.1.4

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.1.5

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.8.5.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 2.2.8.5.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.4.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.8.5.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = \frac{8 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.6

Annulez le facteur commun à $- x^{2} - 1$ et ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Étape 2.2.8.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.6.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.6.4

Réécrivez $- (x^{2} + 1)$ comme $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.6.5

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8.6.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.8.6.6.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.8.6.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.8.6.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.8.7

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 x (x^{2} - 3) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 3.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3.3

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 3.3.3.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 3.3.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 3.3.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 3.3.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $8 x (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0 + 1}{0^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 1}{0^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.1.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 1}{0^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.1.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = \frac{1}{0^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{1}{0 + 1}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Étape 4.1.2.3

Divisez $1$ par $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ est $(0, 1)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 1)$

Étape 4.3

Remplacez $\sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Étape 4.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Étape 4.3.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Étape 4.3.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Étape 4.3.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Étape 4.3.2.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Étape 4.3.2.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Étape 4.3.2.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Étape 4.3.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Étape 4.3.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Étape 4.3.2.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Étape 4.3.2.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3.2.3

Annulez le facteur commun à $4 - 4 \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3.2.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.3.2.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.3.2.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

Étape 4.3.2.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Étape 4.3.2.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{1}$

Étape 4.3.2.3.4.4

Divisez $1 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3}$

Étape 4.3.2.4

La réponse finale est $1 - \sqrt{3}$ .

$1 - \sqrt{3}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $\sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ est $(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

Étape 4.5

Remplacez $- \sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- \sqrt{3})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.5.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 + 4 \sqrt{3} + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.1.6

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.2.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.2.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.5.2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Étape 4.5.2.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Étape 4.5.2.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Étape 4.5.2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Étape 4.5.2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Étape 4.5.2.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Étape 4.5.2.2.5

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.5.2.3

Annulez le facteur commun à $4 + 4 \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 4.5.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.5.2.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (\sqrt{3})}{4}$

Étape 4.5.2.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (\sqrt{3})$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.5.2.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 (1)}$

Étape 4.5.2.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{1}$

Étape 4.5.2.3.4.4

Divisez $1 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3}$

Étape 4.5.2.4

La réponse finale est $1 + \sqrt{3}$ .

$1 + \sqrt{3}$

Étape 4.6

Le point trouvé en remplaçant $- \sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ est $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

Étape 4.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}), (- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.8320508$ dans l’expression.

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{8 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $8$ par $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 14.65640646 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 14.65640646$ par ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 1.8320508$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $3.35641016$ et $1$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $4.35641016$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{82.67730033}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $- 5.22369219$ par $82.67730033$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.06318169$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $0.06318169$ .

$0.06318169$

Étape 6.3

Sur $- 1.8320508$ , la dérivée seconde est $0.06318169$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \sqrt{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \sqrt{3}, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.8660254$ dans l’expression.

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{8 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $8$ par $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{- 6.92820323 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 6.92820323$ par ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $- 0.8660254$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0.75$ et $1$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{1.75}^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $1.75$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{5.359375}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Divisez $15.58845726$ par $5.359375$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 1 \cdot 2.90863342$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $2.90863342$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 2.90863342$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 2.90863342$ .

$- 2.90863342$

Étape 7.3

Sur $- 0.8660254$ , la dérivée seconde est $- 2.90863342$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \sqrt{3}, 0)$

Diminue sur $(- \sqrt{3}, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.8660254$ dans l’expression.

$f'' (0.8660254) = - \frac{8 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $8$ par $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{6.92820323 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $6.92820323$ par ${0.8660254}^{2} - 3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $0.8660254$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $0.75$ et $1$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{1.75}^{3}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $1.75$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{5.359375}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.1

Divisez $- 15.58845726$ par $5.359375$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2.90863342$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $2.90863342$ .

$2.90863342$

Étape 8.3

Sur $0.8660254$ , la dérivée seconde est $2.90863342$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \sqrt{3})$ .

Augmente sur $(0, \sqrt{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1.8320508$ dans l’expression.

$f'' (1.8320508) = - \frac{8 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Multipliez $8$ par $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{14.65640646 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $14.65640646$ par ${1.8320508}^{2} - 3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Élevez $1.8320508$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $3.35641016$ et $1$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $4.35641016$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{82.67730033}$

Étape 9.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1

Divisez $5.22369219$ par $82.67730033$ .

$f'' (1.8320508) = - 1 \cdot 0.06318169$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0.06318169$ .

$f'' (1.8320508) = - 0.06318169$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- 0.06318169$ .

$- 0.06318169$

Étape 9.3

Sur $1.8320508$ , la dérivée seconde est $- 0.06318169$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$

Diminue sur $(\sqrt{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ .

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

Étape 11