Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{2} - 3$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3] - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.5.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.5.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.5.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Soustrayez $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.2.2

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$\frac{- 4 x + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.3

Additionnez $- 4 x$ et $6 x$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Étape 2.3.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Étape 2.3.6.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}})$

Étape 3.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.3.2

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ et $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 1)}^{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.6.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.8

Différenciez.

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Étape 3.8.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.8.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.8.5

Associez les fractions.

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Étape 3.8.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.8.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.8.5.3

Associez $2$ et $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Appliquez la règle de produit à ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.4.1

Factorisez $2 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

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Étape 3.9.4.1.1

Factorisez $2 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.1.2

Factorisez $2 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.1.3

Factorisez $2 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.1.4

Factorisez $2 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.1.5

Factorisez $2 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.2

Associez les exposants.

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Étape 3.9.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.4.3.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.9.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.9.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.4.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.4.3.4.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.4.3.7.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.4

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 3.9.4.4.1

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.4.2

Additionnez $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.5

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.4.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.5

Associez des termes.

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Étape 3.9.5.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.9.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.5.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.5.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.9.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.9.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 3.9.5.3

Annulez le facteur commun à $x + 1$ et ${(x + 1)}^{4}$ .

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Étape 3.9.5.3.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 3.9.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.5.3.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Étape 3.9.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Étape 3.9.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 3.9.5.4

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et ${(x - 1)}^{4}$ .

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Étape 3.9.5.4.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $2 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 3.9.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.5.4.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Étape 3.9.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Étape 3.9.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 3.9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 3.9.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 3.9.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 3.9.9

Réécrivez $- (3 x^{2} + 1)$ comme $- 1 (3 x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 3.9.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3] - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.6.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.5.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.5.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.5.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 5.1.3.5.2.1

Soustrayez $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.2.2

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$\frac{- 4 x + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5.3

Additionnez $- 4 x$ et $6 x$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.3.6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.3.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Étape 5.1.3.6.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2.2

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.2.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2.2.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.2.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.2.2.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.2.3

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.3.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2.3.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 7.2.3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 7.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{2} + 1)}{{((0) + 1)}^{3} {((0) - 1)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 10.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 (0) + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 10.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot (0 - 1))}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 10.2.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 \cdot (0 - 1)$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 10.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 10.2.6

Multipliez ${(0 - 1)}^{3}$ par ${(0 - 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.6.1

Déplacez ${(0 - 1)}^{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Étape 10.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3 + 3}}$

Étape 10.2.6.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Étape 10.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Étape 10.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.4.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{2}{- 1 {(- 1)}^{6}}$

Étape 10.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$- \frac{2}{- 1 \cdot 1}$

Étape 10.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{2}{- 1}$

Étape 10.5.2

Divisez $2$ par $- 1$ .

$- - 2$

Étape 10.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2} - 3}{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 - 3}{0^{2} - 1}$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 3}{0^{2} - 1}$

Étape 12.2.1.3

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 3}{0^{2} - 1}$

Étape 12.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{- 3}{0 - 1}$

Étape 12.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 12.2.3

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$f (0) = 3$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ .

$(0, 3)$ est un minimum local

Étape 14