Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 2.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 2.3.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.3.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.12

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.13.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.14

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.15

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.16

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 3.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 3.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.3.9

Multipliez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{4}$

Étape 3.3.11

Déplacez $3$ à gauche de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Étape 3.3.12

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 5.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 5.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 5.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 5.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 5.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 5.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 5.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 5.1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5.1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5.1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5.1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 5.1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.1.3.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Étape 6.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$

Étape 6.2.2

Comme $2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $2, 2, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{\frac{1}{2}}$ .

Étape 6.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 6.2.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 6.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 6.2.6

Le plus petit multiple commun de $2, 2, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2$

Étape 6.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{1}{2}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.8

Le plus petit multiple commun pour $2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$ est la partie numérique $2$ multipliée par la partie variable.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ par $2 x^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ par $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ dans le numérateur.

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 (x^{\frac{1}{2}})) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$1 - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.5

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.1.5.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - 3 x^{\frac{1 + 1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - 3 x^{\frac{2}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.5.5

Divisez $2$ par $2$ .

$1 - 3 x^{1} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.6

Simplifiez $- 3 x^{1}$ .

$1 - 3 x = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $0 (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$1 - 3 x = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 x = 0$

Étape 6.4

Résolvez l’équation.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x = - 1$

Étape 6.4.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 6.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 7.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Étape 7.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Étape 7.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 x = 0^{2}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x = 0$

Étape 7.3.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 7.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 7.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 7.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 7.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 7.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{3}, 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}) - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.1.4

Multipliez $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$ par $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 \frac{1^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 10.1.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 10.1.6

Associez $4$ et $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{\frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 10.1.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - (3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4})$

Étape 10.1.8

Multipliez $3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

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Étape 10.1.8.1

Associez $3$ et $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4}$

Étape 10.1.8.2

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.8.2.1

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 10.1.8.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4}$

Étape 10.1.8.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{1 + \frac{1}{2}}}{4}$

Étape 10.1.8.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4}$

Étape 10.1.8.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{2 + 1}{2}}}{4}$

Étape 10.1.8.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Étape 10.2

Simplifiez les termes.

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Étape 10.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3^{\frac{3}{2}} - 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $3^{\frac{3}{2}}$ de $- 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Étape 10.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{4}$

Étape 10.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{2 (2)}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 2}$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 10.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 11

$x = \frac{1}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{3}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{1}{3}) = \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 12.2.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Étape 12.2.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1^{3}}{3^{3}}}$

Étape 12.2.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1}{3^{3}}}$

Étape 12.2.2.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1}{27}}$

Étape 12.2.2.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{27}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}}$

Étape 12.2.2.9

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{27}}$

Étape 12.2.2.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.10.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 12.2.2.10.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 (3)}}$

Étape 12.2.2.10.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Étape 12.2.2.10.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt{3}}$

Étape 12.2.2.11

Multipliez $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - (\frac{1}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 12.2.2.12

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.12.1

Multipliez $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 12.2.2.12.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 12.2.2.12.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 12.2.2.12.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 12.2.2.12.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 12.2.2.12.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 12.2.2.12.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 12.2.2.12.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12.2.2.12.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 12.2.2.12.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.2.2.12.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.12.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.2.2.12.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Étape 12.2.2.12.7.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Étape 12.2.2.13

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Étape 12.2.3

Pour écrire $\frac{\sqrt{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Étape 12.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Étape 12.2.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Étape 12.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3}}{9}$

Étape 12.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.6.1

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{3 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3}}{9}$

Étape 12.2.6.2

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $3 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Étape 12.2.7

La réponse finale est $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$- \frac{1}{0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{1}{0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 15

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 16