Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{7 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{7 x} (7 \cdot 1)$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$e^{7 x} \cdot 7$

Étape 1.1.2.3.2

Déplacez $7$ à gauche de $e^{7 x}$ .

$f' (x) = 7 e^{7 x}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 e^{7 x}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [e^{7 x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{7 x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x$ .

$7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$7 (e^{u} \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$7 (e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$49 e^{7 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$49 e^{7 x} \cdot 1$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $49$ par $1$ .

$f'' (x) = 49 e^{7 x}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $49 e^{7 x}$ .

$49 e^{7 x}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $49 e^{7 x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$49 e^{7 x} = 0$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (49 e^{7 x}) = \ln (0)$

Étape 2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4

Il n’y a pas de solution pour $49 e^{7 x} = 0$

Aucune solution

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion