Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$ comme une équation.

$y = - \frac{4 x - 7}{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{4 y - 7}{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{4 y - 7}{y} = x$ .

$- \frac{4 y - 7}{y} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{4 y - 7}{y} = x$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{4 y - 7}{y} = x$ par $y$ .

$- \frac{4 y - 7}{y} y = x y$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 y - 7}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- (4 y - 7)}{y} y = x y$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- (4 y - 7)}{y} y = x y$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- (4 y - 7) = x y$

Étape 3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (4 y) - - 7 = x y$

Étape 3.3.2.3

Multipliez.

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Étape 3.3.2.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 y - - 7 = x y$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$- 4 y + 7 = x y$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y + 7 - x y = 0$

Étape 3.4.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y - x y = - 7$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $- 4 y - x y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- 4 y$ .

$y \cdot - 4 - x y = - 7$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y \cdot - 4 + y (- x) = - 7$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 4 + y (- x)$ .

$y (- 4 - x) = - 7$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (- 4 - x) = - 7$ par $- 4 - x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (- 4 - x) = - 7$ par $- 4 - x$ .

$\frac{y (- 4 - x)}{- 4 - x} = \frac{- 7}{- 4 - x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4 - x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- 4 - x)}{- 4 - x} = \frac{- 7}{- 4 - x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 4 - x}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7}{- 4 - x}$

Étape 3.4.4.3.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y = - \frac{7}{- 1 (4) - x}$

Étape 3.4.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = - \frac{7}{- 1 (4) - (x)}$

Étape 3.4.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (x)$ .

$y = - \frac{7}{- 1 (4 + x)}$

Étape 3.4.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.4.3.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - - \frac{7}{4 + x}$

Étape 3.4.4.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{7}{4 + x}$

Étape 3.4.4.3.5.3

Multipliez $\frac{7}{4 + x}$ par $1$ .

$y = \frac{7}{4 + x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{4 - \frac{4 x - 7}{x}}$

Étape 5.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{4 - \frac{4 x - 7}{x}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x}{x} - \frac{4 x - 7}{x}}$

Étape 5.2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - (4 x - 7)}{x}}$

Étape 5.2.4.3

Réécrivez $\frac{4 x - (4 x - 7)}{x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - (4 x) + 7}{x}}$

Étape 5.2.4.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - 4 x + 7}{x}}$

Étape 5.2.4.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - 4 x + 7}{x}}$

Étape 5.2.4.3.4

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{0 + 7}{x}}$

Étape 5.2.4.3.5

Additionnez $0$ et $7$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{7}{x}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = 7 (\frac{x}{7})$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = 7 (\frac{x}{7})$

Étape 5.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{7}{4 + x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - \frac{4 (\frac{7}{4 + x}) - 7}{\frac{7}{4 + x}}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((4 (\frac{7}{4 + x}) - 7) (\frac{4 + x}{7}))$

Étape 5.3.4

Multipliez $4 \frac{7}{4 + x}$ .

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Étape 5.3.4.1

Associez $4$ et $\frac{7}{4 + x}$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{4 \cdot 7}{4 + x} - 7) (\frac{4 + x}{7}))$

Étape 5.3.4.2

Multipliez $4$ par $7$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{28}{4 + x} - 7) (\frac{4 + x}{7}))$

Étape 5.3.5

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 + x}{4 + x}$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{28}{4 + x} - 7 \cdot \frac{4 + x}{4 + x}) (\frac{4 + x}{7}))$

Étape 5.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.6.1

Associez $- 7$ et $\frac{4 + x}{4 + x}$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{28}{4 + x} + \frac{- 7 (4 + x)}{4 + x}) (\frac{4 + x}{7}))$

Étape 5.3.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{28 - 7 (4 + x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $7$ à partir de $28 - 7 (4 + x)$ .

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Étape 5.3.7.1.1

Factorisez $7$ à partir de $28$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4) - 7 (4 + x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.7.1.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7 (4 + x)$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4) + 7 (- (4 + x))}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.7.1.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (4) + 7 (- (4 + x))$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4 - (4 + x))}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4 - 1 \cdot 4 - x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.7.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4 - 4 - x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.7.4

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (0 - x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.7.5

Soustrayez $x$ de $0$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 \cdot (- 1 x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.7.6

Associez les exposants.

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Étape 5.3.7.6.1

Factorisez le signe négatif.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- (7 x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.7.6.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- 7 x}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.8.1.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7 x$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (- x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.8.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (- x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Étape 5.3.8.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- x}{4 + x} \cdot (4 + x))$

Étape 5.3.8.2

Annulez le facteur commun de $4 + x$ .

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Étape 5.3.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- x}{4 + x} \cdot (4 + x))$

Étape 5.3.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7}{4 + x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$