Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x + 1) e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = (x + 1) \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 1.1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x e^{x} + 1 e^{x} + e^{x}$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Étape 1.1.4.2.2

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$f' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 1.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Étape 1.1.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 2$ .

$- 2$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = (x + 1) e^{x}$ augmente et diminue est $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$ .

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = (- 3) \cdot e^{- 3} + 2 e^{- 3}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{3}} + 2 e^{- 3}$

Étape 5.2.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 3}{e^{3}} + 2 e^{- 3}$

Étape 5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 3) = - \frac{3}{e^{3}} + 2 e^{- 3}$

Étape 5.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{e^{3}} + 2 (\frac{1}{e^{3}})$

Étape 5.2.1.5

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{e^{3}} + \frac{2}{e^{3}}$

Étape 5.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 3) = \frac{- 3 + 2}{e^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1}{e^{3}}$

Étape 5.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 3) = - \frac{1}{e^{3}}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{e^{3}}$ .

$- \frac{1}{e^{3}}$

Étape 5.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $- \frac{1}{e^{3}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 2)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = (- 1) \cdot e^{- 1} + 2 e^{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = - 1 \cdot \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez $- 1 \frac{1}{e}$ comme $- \frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{e} + 2 (\frac{1}{e})$

Étape 6.2.1.4

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 1) = \frac{- 1 + 2}{e}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $\frac{1}{e}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 2, \infty)$ .

Augmente sur $(- 2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 2, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 2)$

Étape 8