Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 100}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 100$ et $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 100) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 100$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (100)) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 100) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 100)}{x^{2}}$

Étape 1.1.9

Simplifiez

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Étape 1.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 100}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 100}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 100}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.9.3.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 10^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$f' (x) = \frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x + 10) (x - 10) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 10 = 0$

$x - 10 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x + 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $x + 10$ égal à $0$ .

$x + 10 = 0$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 10$

Étape 2.3.3

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 10) (x - 10) = 0$ vraie.

$x = - 10, 10$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 10, 10$ .

$- 10, 10$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 10)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 11$ dans l’expression.

$f' (- 11) = \frac{((- 11) + 10) ((- 11) - 10)}{{(- 11)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Additionnez $- 11$ et $10$ .

$f' (- 11) = \frac{- 1 (- 11 - 10)}{{(- 11)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $10$ de $- 11$ .

$f' (- 11) = \frac{- 1 \cdot - 21}{{(- 11)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 11$ à la puissance $2$ .

$f' (- 11) = \frac{- 1 \cdot - 21}{121}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 21$ .

$f' (- 11) = \frac{21}{121}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{21}{121}$ .

$\frac{21}{121}$

Étape 6.3

Sur $x = - 11$ la dérivée est $\frac{21}{121}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 10)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 10)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 10, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = \frac{((- 5) + 10) ((- 5) - 10)}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Additionnez $- 5$ et $10$ .

$f' (- 5) = \frac{5 (- 5 - 10)}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $10$ de $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{5 \cdot - 15}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = \frac{5 \cdot - 15}{25}$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 15$ .

$f' (- 5) = \frac{- 75}{25}$

Étape 7.2.2.3

Divisez $- 75$ par $25$ .

$f' (- 5) = - 3$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 7.3

Sur $x = - 5$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 10, 0)$ .

Diminue sur $(- 10, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 10)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = \frac{((5) + 10) ((5) - 10)}{{(5)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Additionnez $5$ et $10$ .

$f' (5) = \frac{15 (5 - 10)}{5^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Soustrayez $10$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{15 \cdot - 5}{5^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = \frac{15 \cdot - 5}{25}$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $15$ par $- 5$ .

$f' (5) = \frac{- 75}{25}$

Étape 8.2.2.3

Divisez $- 75$ par $25$ .

$f' (5) = - 3$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 8.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 10)$ .

Diminue sur $(0, 10)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(10, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $11$ dans l’expression.

$f' (11) = \frac{((11) + 10) ((11) - 10)}{{(11)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1.1

Additionnez $11$ et $10$ .

$f' (11) = \frac{21 (11 - 10)}{11^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Soustrayez $10$ de $11$ .

$f' (11) = \frac{21 \cdot 1}{11^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.2.1

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$f' (11) = \frac{21 \cdot 1}{121}$

Étape 9.2.2.2

Multipliez $21$ par $1$ .

$f' (11) = \frac{21}{121}$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $\frac{21}{121}$ .

$\frac{21}{121}$

Étape 9.3

Sur $x = 11$ la dérivée est $\frac{21}{121}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(10, \infty)$ .

Augmente sur $(10, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 10), (10, \infty)$

Diminue sur : $(- 10, 0), (0, 10)$

Étape 11