Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x - 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{2}}{x - 3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{(x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 3$ .

$4 \frac{2 \cdot (x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Associez les fractions.

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Étape 1.1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.3

Associez $4$ et $\frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 (x - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4.1.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x - 4 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2} - 24 x$ .

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Étape 1.1.4.5.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.5.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 24 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (- 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.5.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x) + 4 x (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x (x - 6) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3.3

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, 6$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 6$ .

$0, 6$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1) ((- 1) - 6)}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 1 - 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 4)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{16}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1

Soustrayez $6$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 \cdot - 7}{16}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$f' (- 1) = \frac{28}{16}$

Étape 6.2.3.3

Annulez le facteur commun à $28$ et $16$ .

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Étape 6.2.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$f' (- 1) = \frac{4 (7)}{16}$

Étape 6.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = \frac{7}{4}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $\frac{7}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (\frac{3}{2}) ((\frac{3}{2}) - 6)}{{((\frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Associez $4$ et $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 6}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.4.2

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Étape 7.2.2.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Étape 7.2.2.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{4})}$

Étape 7.2.2.11

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{12}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1

Divisez $12$ par $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.4.2

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.4.3

Associez $- 6$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.5.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.4.5.2

Soustrayez $12$ de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{- 9}{2})}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 \cdot (- 1 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.4.7

Associez les exposants.

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Étape 7.2.4.7.1

Factorisez le signe négatif.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (6 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.4.7.2

Associez $6$ et $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{6 \cdot 9}{2}}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.4.7.3

Multipliez $6$ par $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.4.8

Divisez $54$ par $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.5

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

Étape 7.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{3}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

Étape 7.2.7

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 7.2.7.1

Factorisez $9$ à partir de $- 27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

Étape 7.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

Étape 7.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 4$

Étape 7.2.8

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 12$

Étape 7.2.9

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 7.3

Sur $x = \frac{3}{2}$ la dérivée est $- 12$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 3)$ .

Diminue sur $(0, 3)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, 6)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{4 (\frac{9}{2}) ((\frac{9}{2}) - 6)}{{((\frac{9}{2}) - 3)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Associez $4$ et $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 6}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.4.2

Soustrayez $6$ de $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.3

Multipliez $4$ par $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{36}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.4.1

Divisez $36$ par $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.4.2

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.4.3

Associez $- 6$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.4.5.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.4.5.2

Soustrayez $12$ de $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{- 3}{2})}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.4.7

Associez les exposants.

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Étape 8.2.4.7.1

Factorisez le signe négatif.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- (18 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.4.7.2

Associez $18$ et $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{18 \cdot 3}{2}}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.4.7.3

Multipliez $18$ par $3$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.4.8

Divisez $54$ par $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.5

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

Étape 8.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{9}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

Étape 8.2.7

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 8.2.7.1

Factorisez $9$ à partir de $- 27$ .

$f' (\frac{9}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

Étape 8.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{9}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

Étape 8.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{9}{2}) = - 3 \cdot 4$

Étape 8.2.8

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - 12$

Étape 8.2.9

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 8.3

Sur $x = \frac{9}{2}$ la dérivée est $- 12$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(3, 6)$ .

Diminue sur $(3, 6)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = \frac{4 (7) ((7) - 6)}{{((7) - 3)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Multipliez $4$ par $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{{(7 - 3)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Soustrayez $3$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{4^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{16}$

Étape 9.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.1

Soustrayez $6$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{28 \cdot 1}{16}$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $28$ par $1$ .

$f' (7) = \frac{28}{16}$

Étape 9.2.3.3

Annulez le facteur commun à $28$ et $16$ .

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Étape 9.2.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$f' (7) = \frac{4 (7)}{16}$

Étape 9.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Étape 9.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Étape 9.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (7) = \frac{7}{4}$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Étape 9.3

Sur $x = 7$ la dérivée est $\frac{7}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(6, \infty)$ .

Augmente sur $(6, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0), (6, \infty)$

Diminue sur : $(0, 3), (3, 6)$

Étape 11