Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 1.4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Étape 1.4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

Étape 1.5.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

Étape 1.5.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{e^{x}}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{e^{- x}}{6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} e^{- x}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 2.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 2.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- e^{- x})$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + 1 (\frac{1}{6}) \cdot e^{- x}$

Étape 2.3.9

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{1}{6} \cdot e^{- x}$

Étape 2.3.10

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{e^{- x}}{6}$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x}}{6} + \frac{e^{- x}}{6}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Étape 4.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 4.1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 4.1.4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Étape 4.1.4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

Étape 4.1.5.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

Étape 4.1.5.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

Étape 5.2

Déplacez $- \frac{e^{- x}}{6}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$\frac{e^{x}}{6} = \frac{e^{- x}}{6}$

Étape 5.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$e^{x} = e^{- x}$

Étape 5.4

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = - x$

Étape 5.5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.5.1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x + x = 0$

Étape 5.5.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x = 0$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{e^{0}}{6} + \frac{e^{- (0)}}{6}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{6}$

Étape 9.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 + 1}{6}$

Étape 9.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{6}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{0}}{6}$

Étape 11.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = \frac{1 + 1}{6}$

Étape 11.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (0) = \frac{2}{6}$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (0) = \frac{2 (1)}{6}$

Étape 11.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 11.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 11.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = \frac{1}{3}$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ .

$(0, \frac{1}{3})$ est un minimum local

Étape 13