Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + 6}{x - 6}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x + 6}{x - 6}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x + 6}{x - 6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 6$ et $g (x) = x - 6$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) (1 + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.2

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x - 6 - x - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x - 6 - x - 1 \cdot 6$ .

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Étape 2.1.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 6 - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f' (x) = \frac{- 6 - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (x) = \frac{- 6 - 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.3

Soustrayez $6$ de $- 6$ .

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.2.1.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ comme ${({(x - 6)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} {({(x - 6)}^{2})}^{- 1}$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 6)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{2 \cdot - 1}$

Étape 2.2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{- 2}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$f'' (x) = - 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 6))$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 12 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 6))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$f'' (x) = - 12 (- 2 {(x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 6))$

Étape 2.2.3

Différenciez.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 24 ({(x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 6))$

Étape 2.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = 24 {(x - 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 {(x - 6)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 6))$

Étape 2.2.3.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 24 {(x - 6)}^{- 3} (1 + 0)$

Étape 2.2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 24 {(x - 6)}^{- 3} \cdot 1$

Étape 2.2.3.5.2

Multipliez $24$ par $1$ .

$f'' (x) = 24 {(x - 6)}^{- 3}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 24 (\frac{1}{{(x - 6)}^{3}})$

Étape 2.2.4.2

Associez $24$ et $\frac{1}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{24}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{24}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{24}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{24}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{24}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$24 = 0$

Étape 3.3

Comme $24 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion