Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(4 + \frac{1}{x})}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 4 + \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 + \frac{1}{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 + \frac{1}{x}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 + \frac{1}{x}$ .

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [4 + \frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.1

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} x^{- 2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $- 3$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} {(4 + \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.3.2.2

Associez $\frac{- 3}{x^{2}}$ et ${(4 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{3 {(\frac{4 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3 {(\frac{4 x + 1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 x + 1}{x}$ .

$- \frac{3 \frac{{(4 x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.4

Associez $3$ et $\frac{{(4 x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{3 {(4 x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{3 {(4 x + 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.3.6

Associez.

$- \frac{3 {(4 x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Étape 1.3.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 {(4 x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Étape 1.3.7.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{3 {(4 x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Étape 1.3.8

Multipliez $3 {(4 x + 1)}^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{3 {(4 x + 1)}^{2}}{x^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3 {(4 x + 1)}^{2}}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{2}}{x^{4}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{2}}{x^{4}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(4 x + 1)}^{2}$ et $g (x) = x^{4}$ .

$- 3 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}] - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}] - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 3 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}] - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 4 x + 1$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 1$ .

$- 3 \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 u \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 1$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) (4 + 0)) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) \cdot 4) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 3 \frac{x^{4} (8 (4 x + 1)) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 \frac{x^{4} (8 (4 x + 1)) - {(4 x + 1)}^{2} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.5.8

Associez les fractions.

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Étape 2.5.8.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 3 \frac{x^{4} (8 (4 x + 1)) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.5.8.2

Associez $- 3$ et $\frac{x^{4} (8 (4 x + 1)) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 3 (x^{4} (8 (4 x + 1)) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.5.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (x^{4} (8 (4 x + 1)) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 (x^{4} (8 (4 x) + 8 \cdot 1) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 (x^{4} (8 (4 x)) + x^{4} (8 \cdot 1) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 (x^{4} (8 (4 x))) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.4.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{3 (x \cdot x^{4} (8 \cdot (4))) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.6.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 (x^{1} x^{4} (8 \cdot (4))) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 (x^{1 + 4} (8 \cdot (4))) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{3 (x^{5} (8 \cdot (4))) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$- \frac{3 (x^{5} \cdot 32) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.3

Déplacez $32$ à gauche de $x^{5}$ .

$- \frac{3 (32 \cdot x^{5}) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.4

Multipliez $32$ par $3$ .

$- \frac{96 x^{5} + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 3 (x^{4} \cdot 8) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.6

Déplacez $8$ à gauche de $x^{4}$ .

$- \frac{96 x^{5} + 3 (8 \cdot x^{4}) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.7

Multipliez $8$ par $3$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.8

Réécrivez ${(4 x + 1)}^{2}$ comme $(4 x + 1) (4 x + 1)$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 ((4 x + 1) (4 x + 1)) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.9

Développez $(4 x + 1) (4 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.4.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 x (4 x + 1) + 1 (4 x + 1)) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x + 1)) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.4.1.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.4.1.10.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.10.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.1.10.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.10.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.10.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.10.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (16 x^{2} + 4 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.10.1.5

Multipliez $4 x$ par $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.10.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.10.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (16 x^{2} + 8 x + 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 ((- 4 (16 x^{2}) - 4 (8 x) - 4 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.12

Simplifiez

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Étape 2.6.4.1.12.1

Multipliez $16$ par $- 4$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 ((- 64 x^{2} - 4 (8 x) - 4 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.12.2

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 ((- 64 x^{2} - 32 x - 4 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.12.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 ((- 64 x^{2} - 32 x - 4) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.13

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{2} x^{3} - 32 x \cdot x^{3} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.14

Simplifiez

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Étape 2.6.4.1.14.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.1.14.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 (x^{3} x^{2}) - 32 x \cdot x^{3} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.14.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{3 + 2} - 32 x \cdot x^{3} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.14.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5} - 32 x \cdot x^{3} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.14.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.1.14.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5} - 32 (x^{3} x) - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.14.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 2.6.4.1.14.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5} - 32 (x^{3} x^{1}) - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.14.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5} - 32 x^{3 + 1} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.14.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5} - 32 x^{4} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.15

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5}) + 3 (- 32 x^{4}) + 3 (- 4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.16

Simplifiez

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Étape 2.6.4.1.16.1

Multipliez $- 64$ par $3$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} - 192 x^{5} + 3 (- 32 x^{4}) + 3 (- 4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.16.2

Multipliez $- 32$ par $3$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} - 192 x^{5} - 96 x^{4} + 3 (- 4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.16.3

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} - 192 x^{5} - 96 x^{4} - 12 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.2

Soustrayez $192 x^{5}$ de $96 x^{5}$ .

$- \frac{- 96 x^{5} + 24 x^{4} - 96 x^{4} - 12 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.3

Soustrayez $96 x^{4}$ de $24 x^{4}$ .

$- \frac{- 96 x^{5} - 72 x^{4} - 12 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.5.1

Factorisez $12 x^{3}$ à partir de $- 96 x^{5} - 72 x^{4} - 12 x^{3}$ .

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Étape 2.6.5.1.1

Factorisez $12 x^{3}$ à partir de $- 96 x^{5}$ .

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2}) - 72 x^{4} - 12 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.1.2

Factorisez $12 x^{3}$ à partir de $- 72 x^{4}$ .

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2}) + 12 x^{3} (- 6 x) - 12 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.1.3

Factorisez $12 x^{3}$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2}) + 12 x^{3} (- 6 x) + 12 x^{3} (- 1)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.1.4

Factorisez $12 x^{3}$ à partir de $12 x^{3} (- 8 x^{2}) + 12 x^{3} (- 6 x)$ .

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2} - 6 x) + 12 x^{3} (- 1)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.1.5

Factorisez $12 x^{3}$ à partir de $12 x^{3} (- 8 x^{2} - 6 x) + 12 x^{3} (- 1)$ .

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2} - 6 x - 1)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.6.5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 8 \cdot - 1 = 8$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 2.6.5.2.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x$ .

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2} - 6 (x) - 1)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 2$ plus $- 4$

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2} + (- 2 - 4) x - 1)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2} - 2 x - 4 x - 1)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.6.5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \frac{12 x^{3} ((- 8 x^{2} - 2 x) - 4 x - 1)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- \frac{12 x^{3} (2 x (- 4 x - 1) + 1 (- 4 x - 1))}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 4 x - 1$ .

$- \frac{12 x^{3} ((- 4 x - 1) (2 x + 1))}{x^{8}}$

$- \frac{12 x^{3} (- 4 x - 1) (2 x + 1)}{x^{8}}$

Étape 2.6.6

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{8}$ .

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Étape 2.6.6.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $12 x^{3} (- 4 x - 1) (2 x + 1)$ .

$- \frac{x^{3} ((12 (- 4 x - 1)) (2 x + 1))}{x^{8}}$

Étape 2.6.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.6.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$- \frac{x^{3} ((12 (- 4 x - 1)) (2 x + 1))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 2.6.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{3} ((12 (- 4 x - 1)) (2 x + 1))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 2.6.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(12 (- 4 x - 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Étape 2.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$- \frac{12 (- (4 x) - 1) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Étape 2.6.8

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- \frac{12 (- (4 x) - 1 (1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Étape 2.6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x) - 1 (1)$ .

$- \frac{12 (- (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Étape 2.6.10

Réécrivez $- (4 x + 1)$ comme $- 1 (4 x + 1)$ .

$- \frac{12 (- 1 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Étape 2.6.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{(12 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Étape 2.6.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{(12 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Étape 2.6.13

Multipliez $\frac{(12 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$ par $1$ .

$\frac{(12 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Étape 2.6.14

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(12 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (4 x + 1) (2 x + 1)}{x^{5}}$