Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{4} + 8}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{4} + 8$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.2.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.2.5

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.3.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{x^{5} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{5}$ .

$\frac{4 \cdot x^{5} - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 x^{5} - (x^{4} + 8) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{4} + 8) x}{x^{4}}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + (- 2 x^{4} - 2 \cdot 8) x}{x^{4}}$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{4} x - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.3.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x \cdot x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Étape 1.7.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.7.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{1} x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Étape 1.7.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{1 + 4} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Étape 1.7.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Étape 1.7.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

Étape 1.7.3.2

Soustrayez $2 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

Étape 1.7.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5} - 16 x$ .

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Étape 1.7.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 16 x}{x^{4}}$

Étape 1.7.4.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 16 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)}{x^{4}}$

Étape 1.7.4.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

Étape 1.7.5

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 1.7.5.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x (x^{4} - 8)$ .

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

Étape 1.7.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.7.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.7.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$

Étape 2.2

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$2 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.3.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.3.5

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3}) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 \frac{x^{3} x^{3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{x^{3 + 3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.4.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$2 \frac{x^{6} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.5

Déplacez $4$ à gauche de $x^{6}$ .

$2 \frac{4 \cdot x^{6} - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 \frac{4 x^{6} - (x^{4} - 8) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.7.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 \frac{4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 2.7.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ .

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{6}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

Étape 2.7.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

Étape 2.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 2.8.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 2.8.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

Étape 2.9

Associez $2$ et $\frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 x^{4} - 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Étape 2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 x^{4}) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Étape 2.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.3.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 x^{4} + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Étape 2.10.3.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Étape 2.10.3.1.3

Multipliez $2 (- 3 \cdot - 8)$ .

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Étape 2.10.3.1.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 8$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

Étape 2.10.3.1.3.2

Multipliez $2$ par $24$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 48}{x^{4}}$

Étape 2.10.3.2

Soustrayez $6 x^{4}$ de $8 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{4} + 48}{x^{4}}$

Étape 2.10.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 48$ .

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Étape 2.10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4}$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 48}{x^{4}}$

Étape 2.10.4.2

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$\frac{2 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

Étape 2.10.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 2 \cdot 24$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} + 24)}{x^{4}}$