Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3 x}{2^{x}}$ , $x = 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = \frac{3 (2)}{2^{2}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3 (2)}{2^{2}}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $2^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (2)$ .

$y = \frac{2 \cdot 3}{2^{2}}$

Étape 1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = \frac{3}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{2^{x}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 2^{x}$ .

$3 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{{(2^{x})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{x})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{x \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{2^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Étape 2.3.3

Multipliez $2^{x}$ par $1$ .

$3 \frac{2^{x} - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$3 \frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$

Étape 2.5

Associez $3$ et $\frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$ .

$\frac{3 (2^{x} - x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 2^{x} + 3 (- x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.2.1.1

Multipliez $3 (- x (2^{x} \ln (2)))$ .

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Étape 2.6.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 \cdot 2^{x} - 3 (x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Étape 2.6.2.1.1.2

Simplifiez $- 3 \ln (2)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{3 \cdot 2^{x} + x (2^{x} (- \ln (2^{3})))}{2^{2 x}}$

Étape 2.6.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 \cdot 2^{x} - \ln (2^{3}) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Étape 2.6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{3 \cdot 2^{x} - \ln (8) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Étape 2.6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 \cdot 2^{x} - \ln (8) x \cdot 2^{x}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{x} - x \cdot 2^{x} \ln (8)}{2^{2 x}}$

Étape 2.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2^{x} x \ln (8) + 3 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Étape 2.6.4

Factorisez $2^{x}$ à partir de $- 2^{x} x \ln (8) + 3 \cdot 2^{x}$ .

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Étape 2.6.4.1

Factorisez $2^{x}$ à partir de $- 2^{x} x \ln (8)$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (8)) + 3 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Étape 2.6.4.2

Factorisez $2^{x}$ à partir de $3 \cdot 2^{x}$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (8)) + 2^{x} \cdot 3}{2^{2 x}}$

Étape 2.6.4.3

Factorisez $2^{x}$ à partir de $2^{x} (- x \ln (8)) + 2^{x} \cdot 3$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (8) + 3)}{2^{2 x}}$

Étape 2.6.5

Annulez le facteur commun à $2^{x}$ et $2^{2 x}$ .

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Étape 2.6.5.1

Factorisez $2^{2 x}$ à partir de $2^{x} (- x \ln (8) + 3)$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (8) + 3))}{2^{2 x}}$

Étape 2.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (8) + 3))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Étape 2.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (8) + 3))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Étape 2.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{- x} (- x \ln (8) + 3)}{1}$

Étape 2.6.5.2.4

Divisez $2^{- x} (- x \ln (8) + 3)$ par $1$ .

$2^{- x} (- x \ln (8) + 3)$

Étape 2.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$2^{- x} (- x \ln (8)) + 2^{- x} \cdot 3$

Étape 2.6.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \ln (8) \cdot 2^{- x} x + 2^{- x} \cdot 3$

Étape 2.6.8

Déplacez $3$ à gauche de $2^{- x}$ .

$- \ln (8) \cdot 2^{- x} x + 3 \cdot 2^{- x}$

Étape 2.6.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln (8) \cdot 2^{- x} x + 3 \cdot 2^{- x}$ .

$- x \cdot 2^{- x} \ln (8) + 3 \cdot 2^{- x}$

Étape 2.7

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$- 2 \cdot (2^{- (2)} \ln (8)) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Étape 2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \cdot (2^{- 2} \ln (8)) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Étape 2.8.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \cdot (\frac{1}{2^{2}} \ln (8)) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Étape 2.8.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 \cdot (\frac{1}{4} \ln (8)) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Étape 2.8.4

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (8)$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$- 2 \cdot \ln (8^{\frac{1}{4}}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Étape 2.8.5

Simplifiez $- 2 \ln (8^{\frac{1}{4}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \ln ({(8^{\frac{1}{4}})}^{2}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Étape 2.8.6

Multipliez les exposants dans ${(8^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Étape 2.8.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (8^{\frac{1}{4} \cdot 2}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Étape 2.8.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \ln (8^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Étape 2.8.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \ln (8^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Étape 2.8.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Étape 2.8.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 3 \cdot 2^{- 2}$

Étape 2.8.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 3 \cdot \frac{1}{2^{2}}$

Étape 2.8.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 3 \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.8.10

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}$ et un point donné, tel que $(2, \frac{3}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3}{2}) = (- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{3}{2} = (- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $(- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) \cdot (x - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{3}{2} = 0 + 0 + (- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{3}{2} = (- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.3

Développez $(- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) (x - 2) + \frac{3}{4} (x - 2)$

Étape 3.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x - \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + \frac{3}{4} (x - 2)$

Étape 3.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x - \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.4.1.1

Multipliez $- \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2$ .

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Étape 3.3.1.4.1.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + 2 \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4.1.1.2

Simplifiez $2 \ln (8^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln ({(8^{\frac{1}{2}})}^{2}) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4.1.2

Multipliez les exposants dans ${(8^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.4.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8^{1}) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4.1.3

Évaluez l’exposant.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4.1.4

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.4.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 (2)} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.4.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.4.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4.1.6

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Étape 3.3.1.4.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.3.1.4.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 3.3.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$ .

$y - \frac{3}{2} = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \ln (8) + \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 3.3.2

Multiplier chaque terme dans $y - \frac{3}{2} = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \ln (8) + \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$ par $4$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez chaque terme dans $y - \frac{3}{2} = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \ln (8) + \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$ par $4$ .

$y \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4 = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.2.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$4 \cdot y - \frac{3}{2} \cdot 4 = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$4 y + \frac{- 3}{2} \cdot 4 = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$4 y + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2)) = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$4 y + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2) = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$4 y - 3 \cdot 2 = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$4 y - 6 = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.3.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $\ln (8)$ .

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \cdot \ln (8) + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x + \frac{- 3}{2} \cdot 4$

Étape 3.3.2.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2))$

Étape 3.3.2.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Étape 3.3.2.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x - 3 \cdot 2$

Étape 3.3.2.3.1.5

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez $- 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1.1

Simplifiez $- 4 \ln (8^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$4 y - 6 = x (- \ln ({(8^{\frac{1}{2}})}^{4})) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Étape 3.3.3.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(8^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y - 6 = x (- \ln (8^{\frac{1}{2} \cdot 4})) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Étape 3.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.3.1.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$4 y - 6 = x (- \ln (8^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Étape 3.3.3.1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 y - 6 = x (- \ln (8^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Étape 3.3.3.1.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 y - 6 = x (- \ln (8^{2})) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Étape 3.3.3.1.1.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$4 y - 6 = x (- \ln (64)) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Étape 3.3.3.1.1.4

Simplifiez $4 \ln (8)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$4 y - 6 = x (- \ln (64)) + \ln (8^{4}) + 3 x - 6$

Étape 3.3.3.1.1.5

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$4 y - 6 = x (- \ln (64)) + \ln (4096) + 3 x - 6$

Étape 3.3.3.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x (- \ln (64)) + \ln (4096) + 3 x - 6$ .

$4 y - 6 = - x \ln (64) + \ln (4096) + 3 x - 6$

Étape 3.3.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (64) - \ln (4096) = - 4 y + 6 + 3 x - 6$

Étape 3.3.5

Associez les termes opposés dans $- 4 y + 6 + 3 x - 6$ .

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Étape 3.3.5.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$x \ln (64) - \ln (4096) = - 4 y + 3 x + 0$

Étape 3.3.5.2

Additionnez $- 4 y + 3 x$ et $0$ .

$x \ln (64) - \ln (4096) = - 4 y + 3 x$

Étape 3.3.6

Réécrivez l’équation comme $- 4 y + 3 x = x \ln (64) - \ln (4096)$ .

$- 4 y + 3 x = x \ln (64) - \ln (4096)$

Étape 3.3.7

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y = x \ln (64) - \ln (4096) - 3 x$

Étape 3.3.8

Divisez chaque terme dans $- 4 y = x \ln (64) - \ln (4096) - 3 x$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.8.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y = x \ln (64) - \ln (4096) - 3 x$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x \ln (64)}{- 4} + \frac{- \ln (4096)}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Étape 3.3.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.8.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.3.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x \ln (64)}{- 4} + \frac{- \ln (4096)}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Étape 3.3.8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x \ln (64)}{- 4} + \frac{- \ln (4096)}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Étape 3.3.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.8.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{- \ln (4096)}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Étape 3.3.8.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{\ln (4096)}{4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Étape 3.3.8.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{\ln (4096)}{4} + \frac{3 x}{4}$

Étape 3.3.9

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.9.1

Simplifiez $- \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{\ln (4096)}{4} + \frac{3 x}{4}$ .

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Étape 3.3.9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.9.1.1.1

Réécrivez $\ln (4096)$ comme $\ln (2^{12})$ .

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{\ln (2^{12})}{4} + \frac{3 x}{4}$

Étape 3.3.9.1.1.2

Développez $\ln (2^{12})$ en déplaçant $12$ hors du logarithme.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{12 \ln (2)}{4} + \frac{3 x}{4}$

Étape 3.3.9.1.1.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 3.3.9.1.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12 \ln (2)$ .

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{4 (3 \ln (2))}{4} + \frac{3 x}{4}$

Étape 3.3.9.1.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.9.1.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{4 (3 \ln (2))}{4 (1)} + \frac{3 x}{4}$

Étape 3.3.9.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{4 (3 \ln (2))}{4 \cdot 1} + \frac{3 x}{4}$

Étape 3.3.9.1.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{3 \ln (2)}{1} + \frac{3 x}{4}$

Étape 3.3.9.1.1.3.2.4

Divisez $3 \ln (2)$ par $1$ .

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + 3 \ln (2) + \frac{3 x}{4}$

Étape 3.3.9.1.1.4

Simplifiez $3 \ln (2)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \ln (2^{3}) + \frac{3 x}{4}$

Étape 3.3.9.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \ln (8) + \frac{3 x}{4}$

Étape 3.3.9.1.2

Déplacez $\ln (8)$ .

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{3 x}{4} + \ln (8)$

Étape 3.3.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- x \ln (64) + 3 x}{4} + \ln (8)$

Étape 3.3.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.9.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (64) + 3 x$ .

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Étape 3.3.9.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (64)$ .

$y = \frac{x (- 1 \ln (64)) + 3 x}{4} + \ln (8)$

Étape 3.3.9.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$y = \frac{x (- 1 \ln (64)) + x \cdot 3}{4} + \ln (8)$

Étape 3.3.9.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 1 \ln (64)) + x \cdot 3$ .

$y = \frac{x (- 1 \ln (64) + 3)}{4} + \ln (8)$

Étape 3.3.9.3.2

Réécrivez $- 1 \ln (64)$ comme $- \ln (64)$ .

$y = \frac{x (- \ln (64) + 3)}{4} + \ln (8)$

Étape 3.3.9.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (64)$ .

$y = \frac{x (- (\ln (64)) + 3)}{4} + \ln (8)$

Étape 3.3.9.5

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$y = \frac{x (- (\ln (64)) - 1 (- 3))}{4} + \ln (8)$

Étape 3.3.9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\ln (64)) - 1 (- 3)$ .

$y = \frac{x (- (\ln (64) - 3))}{4} + \ln (8)$

Étape 3.3.9.7

Réécrivez $- (\ln (64) - 3)$ comme $- 1 (\ln (64) - 3)$ .

$y = \frac{x (- 1 (\ln (64) - 3))}{4} + \ln (8)$

Étape 3.3.9.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x (\ln (64) - 3)}{4} + \ln (8)$

Étape 3.3.9.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{\ln (64) - 3}{4} x) + \ln (8)$

Étape 3.3.9.10

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{\ln (64) - 3}{4} x + \ln (8)$

Étape 4