Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{9 x^{2} + 25}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 9 x^{2} + 25$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 25] - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{x (18 x + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (18 x + 0) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Additionnez $18 x$ et $0$ .

$\frac{x (18 x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{1}) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 x^{1 + 1} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Étape 1.1.9

Simplifiez

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Étape 1.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.2.1.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2.2

Soustrayez $9 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.9.3.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $3 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $3 x + 5$ égal à $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $3 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 5$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 5$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{3}$

Étape 2.3.3

Définissez $3 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $3 x - 5$ égal à $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Étape 2.3.3.2

Résolvez $3 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 5$

Étape 2.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 5$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 2.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ vraie.

$x = - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\frac{9 x^{2} + 25}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{5}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{5}{3}$ .

$\frac{9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25}{- \frac{5}{3}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25) (- \frac{3}{5})$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{3}$ .

$(9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Étape 4.1.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$(9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Étape 4.1.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$(9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

Étape 4.1.2.2.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

Étape 4.1.2.2.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Étape 4.1.2.2.6

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.1.2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Étape 4.1.2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$(25 + 25) (- \frac{3}{5})$

Étape 4.1.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.3.1

Additionnez $25$ et $25$ .

$50 (- \frac{3}{5})$

Étape 4.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.2.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{5}$ dans le numérateur.

$50 (\frac{- 3}{5})$

Étape 4.1.2.3.2.2

Factorisez $5$ à partir de $50$ .

$5 (10) \frac{- 3}{5}$

Étape 4.1.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 10 \frac{- 3}{5}$

Étape 4.1.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$10 \cdot - 3$

Étape 4.1.2.3.3

Multipliez $10$ par $- 3$ .

$- 30$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{5}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{5}{3}$ .

$\frac{9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25}{\frac{5}{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25) \frac{3}{5}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

Étape 4.2.2.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

Étape 4.2.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

Étape 4.2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

Étape 4.2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$(25 + 25) \frac{3}{5}$

Étape 4.2.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.3.1

Additionnez $25$ et $25$ .

$50 (\frac{3}{5})$

Étape 4.2.2.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $50$ .

$5 (10) \frac{3}{5}$

Étape 4.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 10 \frac{3}{5}$

Étape 4.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$10 \cdot 3$

Étape 4.2.2.3.3

Multipliez $10$ par $3$ .

$30$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{9 {(0)}^{2} + 25}{0}$

Étape 4.3.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(- \frac{5}{3}, - 30), (\frac{5}{3}, 30)$

Étape 5