Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin (x) - \cos (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (2 x))$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (2 x))$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (2 x))$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- 2 \sin (2 x))$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \cos (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 2.3

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 2.3.2

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 2.3.3

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$

Étape 2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Étape 2.5

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.5.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.5.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.5.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.5.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

Définissez $1 + 2 \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $1 + 2 \sin (x)$ égal à $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $1 + 2 \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 1$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.6.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 2.6.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 2.6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 2.6.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 2.6.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.6.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 2.6.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 2.6.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.6.2.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.6.2.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 2.6.2.8.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.6.2.8.3

Associez les fractions.

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Étape 2.6.2.8.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.6.2.8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 2.6.2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.8.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 2.6.2.8.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 2.6.2.8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 2.6.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 4.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Étape 4.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 - \cos (π)$

Étape 4.1.2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$2 - - \cos (0)$

Étape 4.1.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 - (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - - 1$

Étape 4.1.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 + 1$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{2}$ .

$2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 4.2.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 4.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 - \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Étape 4.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 - \cos (3 π)$

Étape 4.2.2.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 - \cos (π)$

Étape 4.2.2.1.6

$- 2 - - \cos (0)$

Étape 4.2.2.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 - (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.2.1.8

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.2.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 - - 1$

Étape 4.2.2.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 + 1$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- 1$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{7 π}{6}$ .

$2 \sin (\frac{7 π}{6}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

$2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.3.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- 1 - \cos (2 \frac{7 π}{2 (3)})$

Étape 4.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 - \cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 3})$

Étape 4.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - \cos (\frac{7 π}{3})$

Étape 4.3.2.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Étape 4.3.2.5.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Étape 4.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2}$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 3), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, - 1), (\frac{7 π}{6} + 2 π n, - \frac{3}{2})$ , pour tout entier $n$

Étape 5