Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(3 x^{3} + 7)}^{7}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{3} + 7$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 1.2.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (9 x^{2} + 0)$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (9 x^{2})$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $9$ par $7$ .

$63 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x^{2}$

Étape 1.2.6.3

Réorganisez les facteurs de $63 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x^{2}$ .

$f' (x) = 63 x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $63$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $63 x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}$ par rapport à $x$ est $63 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}]$ .

$63 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(3 x^{3} + 7)}^{6}$ .

$63 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} + 7)}^{6}] + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{3} + 7$ .

$63 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$63 (x^{2} (6 u^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{3} + 7$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2} + 0)) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.6.1

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2})) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4.6.2

Multipliez $9$ par $6$ .

$63 (x^{2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5} x^{2}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$63 (x^{2} x^{2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$63 (x^{2 + 2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} (2 x))$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de ${(3 x^{3} + 7)}^{6}$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + 2 \cdot {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5})) + 63 (2 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Étape 2.8.2

Multipliez $54$ par $63$ .

$3402 (x^{4} ({(3 x^{3} + 7)}^{5})) + 63 (2 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Étape 2.8.3

Multipliez $2$ par $63$ .

$3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5} + 126 ({(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Étape 2.8.4

Factorisez $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ à partir de $3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5} + 126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$ .

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Étape 2.8.4.1

Factorisez $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ à partir de $3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$

Étape 2.8.4.2

Factorisez $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ à partir de $126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 x^{3} + 7)$

Étape 2.8.4.3

Factorisez $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ à partir de $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 x^{3} + 7)$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3} + 3 x^{3} + 7)$

Étape 2.8.5

Additionnez $27 x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$f'' (x) = 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (30 x^{3} + 7)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (30 x^{3} + 7)$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (30 x^{3} + 7)$