Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{4} 4 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $n$ .

$4 {(\frac{1}{4})}^{1 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$4 {(\frac{1}{4})}^{0} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$4 \frac{1^{0}}{4^{0}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 \frac{1}{4^{0}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 (\frac{1}{1}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{1}{1}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 1 + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.7

Soustrayez $1$ de $2$ .

$4 + 4 {(\frac{1}{4})}^{1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.8

Simplifiez

$4 + 4 (\frac{1}{4}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.9.1

Annulez le facteur commun.

$4 + 4 (\frac{1}{4}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.9.2

Réécrivez l’expression.

$4 + 1 + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.10

Soustrayez $1$ de $3$ .

$4 + 1 + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$4 + 1 + 4 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 + 1 + 4 \frac{1}{4^{2}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.13

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$4 + 1 + 4 (\frac{1}{16}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.14

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.14.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 + 1 + 4 \frac{1}{4 (4)} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.14.2

Annulez le facteur commun.

$4 + 1 + 4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.14.3

Réécrivez l’expression.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.15

Soustrayez $1$ de $4$ .

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3}$

Étape 2.1.16

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1^{3}}{4^{3}}$

Étape 2.1.17

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4^{3}}$

Étape 2.1.18

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{64})$

Étape 2.1.19

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.19.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 (16)}$

Étape 2.1.19.2

Annulez le facteur commun.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 16}$

Étape 2.1.19.3

Réécrivez l’expression.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4}{1} + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{16}{16} + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Étape 2.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Étape 2.2.7

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}$

Étape 2.2.8

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + \frac{1}{16}$

Étape 2.2.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 16 + 16 + 4 + 1}{16}$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $16$ .

$\frac{64 + 16 + 4 + 1}{16}$

Étape 2.5

Additionnez $64$ et $16$ .

$\frac{80 + 4 + 1}{16}$

Étape 2.6

Additionnez $80$ et $4$ .

$\frac{84 + 1}{16}$

Étape 2.7

Additionnez $84$ et $1$ .

$\frac{85}{16}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{85}{16}$

Forme décimale :

$5.3125$

Forme de nombre mixte :

$5 \frac{5}{16}$