Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{3} {(- 1)}^{k + 3} \cos (\frac{π}{k})$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

${(- 1)}^{1 + 3} \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Additionnez $1$ et $3$ .

${(- 1)}^{4} \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.3

Multipliez $\cos (\frac{π}{1})$ par $1$ .

$\cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.4

Divisez $π$ par $1$ .

$\cos (π) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (0) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1 + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.8

Additionnez $2$ et $3$ .

$- 1 + {(- 1)}^{5} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$- 1 - 1 \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.10

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 1 - 1 \cdot 0 + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 1 + 0 + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.12

Additionnez $3$ et $3$ .

$- 1 + 0 + {(- 1)}^{6} \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$- 1 + 0 + 1 \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.14

Multipliez $\cos (\frac{π}{3})$ par $1$ .

$- 1 + 0 + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.15

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 1 + 0 + \frac{1}{2}$

Étape 2.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$- 1 + \frac{1}{2}$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 2 + 1}{2}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 + 1}{2}$

Étape 2.6.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$