Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{30} (\frac{7}{30} k + 5) \frac{7}{30}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Associez $\frac{7}{30}$ et $k$ .

$(\frac{7 k}{30} + 5) \frac{7}{30}$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 k}{30} \cdot \frac{7}{30} + 5 (\frac{7}{30})$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{7 k}{30} \cdot \frac{7}{30}$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{7 k}{30}$ par $\frac{7}{30}$ .

$\frac{7 k \cdot 7}{30 \cdot 30} + 5 (\frac{7}{30})$

Étape 1.3.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{49 k}{30 \cdot 30} + 5 (\frac{7}{30})$

Étape 1.3.3

Multipliez $30$ par $30$ .

$\frac{49 k}{900} + 5 (\frac{7}{30})$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $30$ .

$\frac{49 k}{900} + 5 \frac{7}{5 (6)}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{49 k}{900} + 5 \frac{7}{5 \cdot 6}$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{49 k}{900} + \frac{7}{6}$

Étape 1.5

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \frac{7}{6}$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \frac{7}{6} = \sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \sum_{k = 1}^{30} \frac{7}{6}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\frac{49}{900}$ dans l’addition.

$(\frac{49}{900}) \sum_{k = 1}^{30} k$

Étape 3.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{49}{900}) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1.1

Additionnez $30$ et $1$ .

$\frac{49}{900} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $30$ par $31$ .

$\frac{49}{900} \cdot \frac{930}{2}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $30$ à partir de $900$ .

$\frac{49}{30 (30)} \cdot \frac{930}{2}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $30$ à partir de $930$ .

$\frac{49}{30 \cdot 30} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{30 \cdot 30} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

Étape 3.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{30} \cdot \frac{31}{2}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{49}{30}$ par $\frac{31}{2}$ .

$\frac{49 \cdot 31}{30 \cdot 2}$

Étape 3.4.4

Multipliez.

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Étape 3.4.4.1

Multipliez $49$ par $31$ .

$\frac{1519}{30 \cdot 2}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez $30$ par $2$ .

$\frac{1519}{60}$

Étape 4

Évaluez $\sum_{k = 1}^{30} \frac{7}{6}$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{7}{6}) (30)$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $30$ .

$\frac{7}{6} (6 (5))$

Étape 4.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{6} (6 \cdot 5)$

Étape 4.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$7 \cdot 5$

Étape 4.3.2

Multipliez $7$ par $5$ .

$35$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{1519}{60} + 35$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Pour écrire $35$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{60}{60}$ .

$\frac{1519}{60} + 35 \cdot \frac{60}{60}$

Étape 6.2

Associez $35$ et $\frac{60}{60}$ .

$\frac{1519}{60} + \frac{35 \cdot 60}{60}$

Étape 6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1519 + 35 \cdot 60}{60}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $35$ par $60$ .

$\frac{1519 + 2100}{60}$

Étape 6.4.2

Additionnez $1519$ et $2100$ .

$\frac{3619}{60}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3619}{60}$

Forme décimale :

$60.31\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$60 \frac{19}{60}$