Calcul infinitésimal Exemples

$y \cos (\frac{1}{y}) = 9 x + 9 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y \cos (\frac{1}{y})) = \frac{d}{d x} (9 x + 9 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = \cos (\frac{1}{y})$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{y})] + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{1}{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{y}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{y}$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = y$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Multipliez $y$ par $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [y]$ de $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y (- \sin (\frac{1}{y}) (- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y (1 \sin (\frac{1}{y}) \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.3.5

Multipliez $\sin (\frac{1}{y})$ par $1$ .

$y (\sin (\frac{1}{y}) \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y (\sin (\frac{1}{y}) \frac{y'}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.6

Associez $\sin (\frac{1}{y})$ et $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$y \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.7

Associez $y$ et $\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y^{2}} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.8

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y \cdot y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y \cdot y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.9

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} + \cos (\frac{1}{y}) y'$

Étape 2.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x + 9 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Étape 3.2.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 y$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 + 9 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$9 + 9 y'$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$9 y' + 9$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, y, 1, 1$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$ par $y$ .

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} y = 9 y' y + 9 y$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} y = 9 y' y + 9 y$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \sin (\frac{1}{y}) y' = 9 y' y + 9 y$

Étape 5.2.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (\frac{1}{y}) y' y + \sin (\frac{1}{y}) y'$ .

$y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) = 9 y' y + 9 y$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Soustrayez $9 y' y$ des deux côtés de l’équation.

$y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) - 9 y' y = 9 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) - 9 y' y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' y \cos (\frac{1}{y})$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) - 9 y' y = 9 y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' \sin (\frac{1}{y})$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) - 9 y' y = 9 y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 9 y' y$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y) = 9 y$

Étape 5.3.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y}))$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y) = 9 y$

Étape 5.3.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y)$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$ par $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$ par $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ .

$\frac{y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y)}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y)}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$