Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2)$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.9

Associez $3$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.12

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.9

Associez $- 4$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.11

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$