Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{2} - \sqrt{x} + \frac{5}{x^{2}} + 6$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6)$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 x - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3.9

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ .

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Étape 4.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 4.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4.10

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 x^{- 3} + 0$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Étape 4.6.2

Associez des termes.

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Étape 4.6.2.1

Associez $- 10$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 10}{x^{3}} + 0$

Étape 4.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}} + 0$

Étape 4.6.2.3

Additionnez $4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}}$ et $0$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}}$

Étape 4.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$