Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{j = 1}^{200} 2 j (j + 3)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 j \cdot j + 2 j \cdot 3$

Étape 1.2

Multipliez $j$ par $j$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $j$ .

$2 (j \cdot j) + 2 j \cdot 3$

Étape 1.2.2

Multipliez $j$ par $j$ .

$2 j^{2} + 2 j \cdot 3$

Étape 1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 j^{2} + 6 j$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{j = 1}^{200} 2 j^{2} + 6 j$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{j = 1}^{200} 2 j^{2} + 6 j = 2 \sum_{j = 1}^{200} j^{2} + 6 \sum_{j = 1}^{200} j$

Étape 3

Évaluez $2 \sum_{j = 1}^{200} j^{2}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(2) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $200$ et $1$ .

$2 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $200$ par $201$ .

$2 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $200$ .

$2 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $400$ et $1$ .

$2 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

Étape 3.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $40200$ par $401$ .

$2 (\frac{16120200}{6})$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \frac{16120200}{2 (3)}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16120200}{3}$

Étape 3.3.2.3

Divisez $16120200$ par $3$ .

$5373400$

Étape 4

Évaluez $6 \sum_{j = 1}^{200} j$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(6) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $200$ et $1$ .

$6 \frac{200 \cdot 201}{2}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $200$ par $201$ .

$6 (\frac{40200}{2})$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{40200}{2}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{40200}{2}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 40200$

Étape 4.3.3

Multipliez $3$ par $40200$ .

$120600$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$5373400 + 120600$

Étape 6

Additionnez $5373400$ et $120600$ .

$5494000$