Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{\infty} {(\frac{4}{7})}^{i}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i + 1}}{{(\frac{4}{7})}^{i}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{4}{7})}^{i + 1}$ et ${(\frac{4}{7})}^{i}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez ${(\frac{4}{7})}^{i}$ à partir de ${(\frac{4}{7})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i} \frac{4}{7}}{{(\frac{4}{7})}^{i}}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i} \frac{4}{7}}{{(\frac{4}{7})}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i} \frac{4}{7}}{{(\frac{4}{7})}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\frac{4}{7}}{1}$

Étape 2.2.2.4

Divisez $\frac{4}{7}$ par $1$ .

$r = \frac{4}{7}$

Étape 3

Comme $| r | < 1$ , la série converge.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $i$ par $1$ dans ${(\frac{4}{7})}^{i}$ .

$a = {(\frac{4}{7})}^{1}$

Étape 4.2

Simplifiez

$a = \frac{4}{7}$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{\frac{4}{7}}{1 - \frac{4}{7}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{1 - \frac{4}{7}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{\frac{7}{7} - \frac{4}{7}}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{\frac{7 - 4}{7}}$

Étape 6.2.3

Soustrayez $4$ de $7$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{\frac{3}{7}}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4}{7} (1 (\frac{7}{3}))$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{7}{3}$ par $1$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 6.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Étape 6.5.2

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{1}{3})$

Étape 6.6

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4}{3}$

Forme décimale :

$1.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{3}$