Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} - x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{2}{3}} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Étape 1.1.4.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ par $3 x^{\frac{1}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ par $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.2.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $3 x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$2 = 3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$

Étape 2.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 2.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.2.1

Simplifiez ${(\frac{2}{3})}^{3}$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{8}{3^{3}}$

Étape 2.5.4.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{8}{27}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{8}{27}$ .

$\frac{8}{27}$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

Étape 4.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - 1$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Étape 4.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 x = 0^{3}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x = 0$

Étape 4.3.3

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 4.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 4.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Étape 4.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{27}) \cup (\frac{8}{27}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Étape 6.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 (- 1)} - 1$

Étape 6.2.1.1.4

Évaluez l’exposant.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 \cdot - 1} - 1$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{- 3} - 1$

Étape 6.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 3}{3}$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 5}{3}$

Étape 6.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{5}{3}$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- \frac{5}{3}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{8}{27})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.\overline{148}$ dans l’expression.

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 {(0.\overline{148})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.\overline{148}$ à la puissance $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 \cdot 0.52913368} - 1$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $0.52913368$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{1.58740105} - 1$

Étape 7.2.1.3

Divisez $2$ par $1.58740105$ .

$f' (0.\overline{148}) = 1.25992104 - 1$

Étape 7.2.2

Soustrayez $1$ de $1.25992104$ .

$f' (0.\overline{148}) = 0.25992104$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0.25992104$ .

$0.25992104$

Étape 7.3

Sur $x = 0.\overline{148}$ la dérivée est $0.25992104$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \frac{8}{27})$ .

Augmente sur $(0, \frac{8}{27})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{8}{27}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.2962963$ dans l’expression.

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 {(1.2962963)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $1.2962963$ à la puissance $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 \cdot 1.09035543} - 1$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $3$ par $1.09035543$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3.27106631} - 1$

Étape 8.2.1.3

Divisez $2$ par $3.27106631$ .

$f' (1.2962963) = 0.61142141 - 1$

Étape 8.2.2

Soustrayez $1$ de $0.61142141$ .

$f' (1.2962963) = - 0.38857858$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 0.38857858$ .

$- 0.38857858$

Étape 8.3

Sur $x = 1.2962963$ la dérivée est $- 0.38857858$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\frac{8}{27}, \infty)$ .

Diminue sur $(\frac{8}{27}, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, \frac{8}{27})$

Diminue sur : $(- \infty, 0), (\frac{8}{27}, \infty)$

Étape 10