Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(6 x - 5)}^{2} {(3 - x^{5})}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(6 x - 5)}^{2}$ et $g (x) = {(3 - x^{5})}^{2}$ .

${(6 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 - x^{5})}^{2}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 - x^{5}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 - x^{5}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 u \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - x^{5}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 2 (3 - x^{5}) (5 x^{4})) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 3.7

Multipliez $5$ par $- 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 10 (3 - x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

${(6 x - 5)}^{2} ((- 10 \cdot 3 - 10 (- x^{5})) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

${(6 x - 5)}^{2} (- 10 \cdot 3 x^{4} - 10 (- x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 10$ par $3$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} - 10 (- x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{5} x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 4.3.3

Multipliez $x^{5}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1

Déplacez $x^{4}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 (x^{4} x^{5})) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 4.3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{4 + 5}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 4.3.3.3

Additionnez $4$ et $5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{9}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Étape 5

Réécrivez ${(6 x - 5)}^{2}$ comme $(6 x - 5) (6 x - 5)$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 5) (6 x - 5)]$

Étape 6

Développez $(6 x - 5) (6 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x - 5) - 5 (6 x - 5)]$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x - 5)]$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Étape 7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Étape 7.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.2.1

Déplacez $x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Étape 7.1.3

Multipliez $6$ par $6$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 5$ par $6$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Étape 7.1.5

Multipliez $6$ par $- 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 30 x - 5 \cdot - 5]$

Étape 7.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 30 x + 25]$

Étape 7.2

Soustrayez $30 x$ de $- 30 x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $36 x^{2} - 60 x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 9

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 11

Multipliez $2$ par $36$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 12

Comme $- 60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 60 x$ par rapport à $x$ est $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 14

Multipliez $- 60$ par $1$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 15

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + 0)$

Étape 16

Additionnez $72 x - 60$ et $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$