Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{- x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} - x^{4} - 5 x^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.2

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.5

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.6

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 1^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 1^{4} - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 1 \cdot 1 - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 1 - 5 \cdot 1 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.7.1.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 5 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.7.2

Soustrayez $5$ de $- 1$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.2.7.3

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.3.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{3} + 1^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{3} + 1^{2} - 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 + 1^{2} - 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.6.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 + 1 - 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 + 1 - 1 - 1}$

Étape 1.3.6.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 - 1}$

Étape 1.3.6.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.6.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.6.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{- x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x^{3} + x^{2} - x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4} - 5 x^{2} + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4} - 5 x^{2} + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} - 5 x^{2} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Étape 3.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Étape 3.6

Additionnez $- 4 x^{3} - 10 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x^{2} - x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.10

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.10.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.10.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 + 0}$

Étape 3.12

Additionnez $3 x^{2} + 2 x - 1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} - 4 x^{3} - 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} 4 x^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Étape 6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 4 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Étape 8

Placez le terme $10$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 10

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 12

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 13

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 14.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 14.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 15.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{- 4 - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 15.1.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$\frac{- 4 - 10}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 15.1.4

Soustrayez $10$ de $- 4$ .

$\frac{- 14}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 15.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 14}{3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 15.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 15.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 - 1 \cdot 1}$

Étape 15.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 - 1}$

Étape 15.2.5

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{- 14}{5 - 1}$

Étape 15.2.6

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{- 14}{4}$

Étape 15.3

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $4$ .

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Étape 15.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14$ .

$\frac{2 (- 7)}{4}$

Étape 15.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Étape 15.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Étape 15.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 7}{2}$

Étape 15.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{2}$