Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b} = f (x)$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2} + a x + b, 1$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} + a x + b, 1$

Étape 3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2} + a x + b$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ par $x^{2} + a x + b$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ par $x^{2} + a x + b$ .

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} (x^{2} + a x + b) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + a x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} (x^{2} + a x + b) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$(x - 3) (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Étape 4.2.2

Développez $(x - 3) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 1) - 3 (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Étape 4.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Étape 4.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Étape 4.2.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Étape 4.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Étape 4.2.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$x^{2} - x - 3 x + 3 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Étape 4.2.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- x$ .

$x^{2} - 4 x + 3 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 x + 3 = f (x) x^{2} + f (x) (a x) + f (x) b$

Étape 4.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x) x^{2} + f (x) a x + f (x) b$ .

$x^{2} - 4 x + 3 = x^{2} f (x) + a x f (x) + b f (x)$

Étape 5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} f (x) + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$ .

$x^{2} f (x) + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Étape 5.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Étape 5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} f + a (x \cdot x) f + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} f + a x^{2} f + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Soustrayez $x^{3} f$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{2} f + b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f$

Étape 5.3.2

Soustrayez $a x^{2} f$ des deux côtés de l’équation.

$b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$ par $f x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$ par $f x$ .

$\frac{b f x}{f x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $f$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b f x}{f x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b x}{x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b x}{x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$b = \frac{x \cdot x}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $f x$ .

$b = \frac{x \cdot x}{x f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$b = \frac{x \cdot x}{x f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.4

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3} f$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $f x$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{x f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{x f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{2} f}{f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.5

Annulez le facteur commun de $f$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{2} f}{f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.5.2

Divisez $- x^{2}$ par $1$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Étape 5.4.3.1.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.6.1

Factorisez $x$ à partir de $- a x^{2} f$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{f x}$

Étape 5.4.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $f x$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{x f}$

Étape 5.4.3.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{x f}$

Étape 5.4.3.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x f}{f}$

Étape 5.4.3.1.7

Annulez le facteur commun de $f$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x f}{f}$

Étape 5.4.3.1.7.2

Divisez $- a x$ par $1$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} - a x$