Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{6 y^{2} + 13 y + 6}{20 - 5 y} \div \frac{4 y^{2} - 9}{y^{2} - 2 y - 8}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{6 y^{2} + 13 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot 6 = 36$ et dont la somme est $b = 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $13$ à partir de $13 y$ .

$\frac{6 y^{2} + 13 (y) + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $13$ comme $4$ plus $9$

$\frac{6 y^{2} + (4 + 9) y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 y^{2} + 4 y + 9 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(6 y^{2} + 4 y) + 9 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 y (3 y + 2) + 3 (3 y + 2)}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 y + 2$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Étape 3

Factorisez $5$ à partir de $20 - 5 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4) - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Étape 3.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 y$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4) + 5 (- y)} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Étape 3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (4) + 5 (- y)$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Étape 4

Factorisez $y^{2} - 2 y - 8$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{4 y^{2} - 9}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{{(2 y)}^{2} - 9}$

Étape 5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{{(2 y)}^{2} - 3^{2}}$

Étape 5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 y$ et $b = 3$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2 y + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Factorisez $2 y + 3$ à partir de $(3 y + 2) (2 y + 3)$ .

$\frac{(2 y + 3) (3 y + 2)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 y + 3) (3 y + 2)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y + 2}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{2 y - 3}$

Étape 7

Multipliez $\frac{3 y + 2}{5 (4 - y)}$ par $\frac{(y - 4) (y + 2)}{2 y - 3}$ .

$\frac{(3 y + 2) ((y - 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $y - 4$ et $4 - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Étape 8.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 1 (4)) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y) - 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (- y + 4) (2 y - 3)}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (- y + 4) (2 y - 3)}$

Étape 8.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez.

$\frac{(3 y + 2) ((y - 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Étape 9.2

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Étape 9.3

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 1 (4)) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Étape 9.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y) - 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Étape 9.5

Réécrivez.

$\frac{(3 y + 2) ({(- 1)}^{- 1} (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Étape 9.6

Élevez $- 1$ à la puissance $- 1$ .

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Étape 9.7

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{(3 y + 2) \cdot - 1 (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$

Étape 9.8

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (3 y + 2) (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(3 y + 2) (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$