Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 13 x$ ; $[1, 6]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 13 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Étape 1.1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (13 x)$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (13 x)$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [13 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.1

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13 x$ par rapport à $x$ est $13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 8 x + 13 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 8 x + 13 \cdot 1$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $13$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 8 x + 13$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 8 x + 13$ .

$x^{2} - 8 x + 13$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 8 x + 13 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 8 x + 13 = 0$

Étape 1.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8$ et $c = 13$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.3

Soustrayez $52$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{3}$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $52$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 4 + \sqrt{3}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $52$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{3}$

Étape 1.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 4 - \sqrt{3}$

Étape 1.2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 4 + \sqrt{3}, 4 - \sqrt{3}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 13 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 4 + \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $4 + \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(4 + \sqrt{3})}^{3} - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{1}{3} \cdot (4^{3} + 3 \cdot 4^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot 4 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 3 \cdot 4^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot 4 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 3 \cdot 16 \sqrt{3} + 3 \cdot 4 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 3 \cdot 4 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{1} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.6

Multipliez $12$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + \sqrt{3^{3}}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + \sqrt{27}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.9

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.2.9.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + \sqrt{9 (3)}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.9.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.2.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + 3 \sqrt{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.3

Additionnez $64$ et $36$ .

$\frac{1}{3} \cdot (100 + 48 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.4

Additionnez $48 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (100 + 51 \sqrt{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} \cdot 100 + \frac{1}{3} (51 \sqrt{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $100$ .

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (51 \sqrt{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $51 \sqrt{3}$ .

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (3 (17 \sqrt{3})) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (3 (17 \sqrt{3})) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.8

Réécrivez ${(4 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(4 + \sqrt{3}) (4 + \sqrt{3})$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 ((4 + \sqrt{3}) (4 + \sqrt{3})) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.9

Développez $(4 + \sqrt{3}) (4 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (4 (4 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (4 + \sqrt{3})) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} (4 + \sqrt{3})) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.10.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.10.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.10.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.10.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.10.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.10.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + 3) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.10.2

Additionnez $16$ et $3$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (19 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.10.3

Additionnez $4 \sqrt{3}$ et $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (19 + 8 \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 \cdot 19 - 4 (8 \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.12

Multipliez $- 4$ par $19$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 76 - 4 (8 \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.13

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 76 - 32 \sqrt{3} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 76 - 32 \sqrt{3} + 13 \cdot 4 + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.1.15

Multipliez $13$ par $4$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 76 - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.2

Pour écrire $- 76$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{100}{3} - 76 \cdot \frac{3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez $- 76$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{100}{3} + \frac{- 76 \cdot 3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{100 - 76 \cdot 3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.5.1

Multipliez $- 76$ par $3$ .

$\frac{100 - 228}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Soustrayez $228$ de $100$ .

$\frac{- 128}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{128}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.7

Pour écrire $52$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + 52 \cdot \frac{3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.8

Associez $52$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + \frac{52 \cdot 3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 128 + 52 \cdot 3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.10.1

Multipliez $52$ par $3$ .

$\frac{- 128 + 156}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.10.2

Additionnez $- 128$ et $156$ .

$\frac{28}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.11

Soustrayez $32 \sqrt{3}$ de $17 \sqrt{3}$ .

$\frac{28}{3} - 15 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.12

Additionnez $- 15 \sqrt{3}$ et $13 \sqrt{3}$ .

$\frac{28}{3} - 2 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 4 - \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $4 - \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(4 - \sqrt{3})}^{3} - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{1}{3} \cdot (4^{3} + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 3 \cdot 16 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.8

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.9

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.2.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{1} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.9.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.10

Multipliez $12$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.13

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - \sqrt{3^{3}}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.14

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - \sqrt{27}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.15

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.2.15.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - \sqrt{9 (3)}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.15.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - (3 \sqrt{3})) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2.17

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - 3 \sqrt{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.3

Additionnez $64$ et $36$ .

$\frac{1}{3} \cdot (100 - 48 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.4

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 48 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (100 - 51 \sqrt{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} \cdot 100 + \frac{1}{3} (- 51 \sqrt{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $100$ .

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (- 51 \sqrt{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 51 \sqrt{3}$ .

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (3 (- 17 \sqrt{3})) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (3 (- 17 \sqrt{3})) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.8

Réécrivez ${(4 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(4 - \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 ((4 - \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.9

Développez $(4 - \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (4 (4 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (4 - \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (4 - \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 4 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.10.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 4 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 4 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.10.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.10.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.10.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{1}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.2

Additionnez $16$ et $3$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (19 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.10.3

Soustrayez $4 \sqrt{3}$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (19 - 8 \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 \cdot 19 - 4 (- 8 \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.12

Multipliez $- 4$ par $19$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 76 - 4 (- 8 \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.13

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 76 + 32 \sqrt{3} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 76 + 32 \sqrt{3} + 13 \cdot 4 + 13 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.15

Multipliez $13$ par $4$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 76 + 32 \sqrt{3} + 52 + 13 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.16

Multipliez $- 1$ par $13$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 76 + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.2

Pour écrire $- 76$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{100}{3} - 76 \cdot \frac{3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.3

Associez $- 76$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{100}{3} + \frac{- 76 \cdot 3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{100 - 76 \cdot 3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.5.1

Multipliez $- 76$ par $3$ .

$\frac{100 - 228}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Soustrayez $228$ de $100$ .

$\frac{- 128}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{128}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.7

Pour écrire $52$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + 52 \cdot \frac{3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.8

Associez $52$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + \frac{52 \cdot 3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 128 + 52 \cdot 3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.10.1

Multipliez $52$ par $3$ .

$\frac{- 128 + 156}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.10.2

Additionnez $- 128$ et $156$ .

$\frac{28}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.11

Additionnez $- 17 \sqrt{3}$ et $32 \sqrt{3}$ .

$\frac{28}{3} + 15 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.12

Soustrayez $13 \sqrt{3}$ de $15 \sqrt{3}$ .

$\frac{28}{3} + 2 \sqrt{3}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(4 + \sqrt{3}, \frac{28}{3} - 2 \sqrt{3}), (4 - \sqrt{3}, \frac{28}{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} + 13 (1)$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - 4 {(1)}^{2} + 13 (1)$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} - 4 {(1)}^{2} + 13 (1)$

Étape 2.1.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} - 4 \cdot 1 + 13 (1)$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{1}{3} - 4 + 13 (1)$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $13$ par $1$ .

$\frac{1}{3} - 4 + 13$

Étape 2.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4}{1} + 13$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 13$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 13$

Étape 2.1.2.2.4

Écrivez $13$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1}$

Étape 2.1.2.2.5

Multipliez $\frac{13}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.1.2.2.6

Multipliez $\frac{13}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{13 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 4 \cdot 3 + 13 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.4.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{1 - 12 + 13 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.2.4.2

Multipliez $13$ par $3$ .

$\frac{1 - 12 + 39}{3}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.1

Soustrayez $12$ de $1$ .

$\frac{- 11 + 39}{3}$

Étape 2.1.2.5.2

Additionnez $- 11$ et $39$ .

$\frac{28}{3}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(6)}^{3} - 4 {(6)}^{2} + 13 (6)$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 4 {(6)}^{2} + 13 (6)$

Étape 2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 (72)) - 4 {(6)}^{2} + 13 (6)$

Étape 2.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 72) - 4 {(6)}^{2} + 13 (6)$

Étape 2.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$72 - 4 {(6)}^{2} + 13 (6)$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$72 - 4 \cdot 36 + 13 (6)$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $36$ .

$72 - 144 + 13 (6)$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $13$ par $6$ .

$72 - 144 + 78$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $144$ de $72$ .

$- 72 + 78$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez $- 72$ et $78$ .

$6$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(1, \frac{28}{3}), (6, 6)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(4 - \sqrt{3}, \frac{28}{3} + 2 \sqrt{3})$

Minimum absolu : $(4 + \sqrt{3}, \frac{28}{3} - 2 \sqrt{3})$

Étape 4