Calcul infinitésimal Exemples

$(1 - e^{z}) (z + e^{z})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ est $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ où $f (z) = 1 - e^{z}$ et $g (z) = z + e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) \frac{d}{d z} [z + e^{z}] + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z + e^{z}$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 - e^{z}) (1 + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ est $a^{z} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{z}$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Étape 4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (0 + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [- e^{z}]$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- e^{z}$ par rapport à $z$ est $- \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- \frac{d}{d z} [e^{z}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ est $a^{z} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- e^{z})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} (- e^{z})$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Multipliez $e^{z}$ par $e^{z}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1

Déplacez $e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} e^{z} \cdot - 1$

Étape 6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z + z} \cdot - 1$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $z$ et $z$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{2 z} \cdot - 1$

Étape 6.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - 1 \cdot e^{2 z}$

Étape 6.2.3

Réécrivez $- 1 e^{2 z}$ comme $- e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - e^{2 z}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(1 + e^{z}) (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Développez $(1 + e^{z}) (1 - e^{z})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $- e^{z}$ par $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4.2.1.3

Multipliez $e^{z}$ par $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z} e^{z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4.2.1.5

Multipliez $e^{z}$ par $e^{z}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.2.1.5.1

Déplacez $e^{z}$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - (e^{z} e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z + z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4.2.1.5.3

Additionnez $z$ et $z$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $- e^{z}$ et $e^{z}$ .

$1 + 0 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.4.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Étape 6.5

Soustrayez $e^{2 z}$ de $- e^{2 z}$ .

$1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$

Étape 6.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$ .

$1 - z e^{z} - 2 e^{2 z}$