Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 5 x - 14}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x^{2} - 5 x - 14$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 5 x - 14) \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x - 14)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 5 x - 14) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x - 14)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 5 x - 14) (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x - 14)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 5 x - 14) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x - 14)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 5 x - 14) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x - 14)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} - 5 x - 14$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x - 14)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 5 x - 14$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 14))}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 14))}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 14))}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 14))}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.9

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} (- 14))}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.10

Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.11

Additionnez $2 x - 5$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 + (- x - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Développez $(- x - 2) (2 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - x (2 x - 5) - 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - 2 x^{2} + 5 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - 2 x^{2} + 5 x - 4 x - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - 2 x^{2} + 5 x - 4 x + 10}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $5 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 5 x - 14 - 2 x^{2} + x + 10}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 5 x - 14 + x + 10}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.3

Additionnez $- 5 x$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 14 + 10}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.4

Additionnez $- 14$ et $10$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ et dont la somme est $b = - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.3.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 2$ plus $- 2$

$f' (x) = \frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f' (x) = \frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f' (x) = \frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.4.1

Factorisez $x^{2} - 5 x - 14$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 14$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 7, 2$

Étape 1.1.1.3.4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 7) (x + 2))}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 7) (x + 2)$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot 2) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$f' (x) = \frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.4

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.5

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 ((x + 2) (x + 2))}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.6

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 ((x + 2) (x + 2))}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6

Annulez le facteur commun de ${(x + 2)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- 1}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ comme ${({(x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 7)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 7$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 7$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.4.4

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.4.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.4.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ par $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} + 0$

Étape 1.1.2.4.7.2

Additionnez $2 {(x - 7)}^{- 3}$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 7)}^{3}})$

Étape 1.1.2.5.2

Associez $2$ et $\frac{1}{{(x - 7)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 7)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{{(x - 7)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 7)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{{(x - 7)}^{3}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2}{{(x - 7)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 5 x - 14}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x - 14}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 5 x - 14 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2} - 5 x - 14$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 14$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 7, 2$

Étape 2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x + 2) = 0$

Étape 2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.2.3

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 2.2.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 2.2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 7, - 2$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 7) \cup (7, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 2, 7}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 7) \cup (7, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 2, 7}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{2}{{((- 4) - 7)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Soustrayez $7$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2}{{(- 11)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 11$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2}{- 1331}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{1331}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- \frac{2}{1331}$ .

$- \frac{2}{1331}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 2, 7)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 7)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Soustrayez $7$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 7)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 343}$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = - \frac{2}{343}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{2}{343}$ .

$- \frac{2}{343}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 2, 7)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 2, 7)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f'' (10) = \frac{2}{{((10) - 7)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Soustrayez $7$ de $10$ .

$f'' (10) = \frac{2}{3^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (10) = \frac{2}{27}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2}{27}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(7, \infty)$ car $f'' (10)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(7, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le bas sur $(- 2, 7)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(7, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8