Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{17}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{17})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{17}$ et $g (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{17}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 17$ .

$17 u^{16} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + x^{2}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $1 - x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.10

Multipliez.

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Étape 3.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.10.2

Multipliez $1 + x^{2}$ par $1$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.12

Associez les fractions.

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Étape 3.3.12.1

Déplacez $2$ à gauche de $1 + x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.12.2

Associez $\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ et $17$ .

$\frac{(2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x) \cdot 17}{{(1 - x^{2})}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16}$

Étape 3.3.12.3

Déplacez $17$ à gauche de $2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x$ .

$\frac{17 \cdot (2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{17 (2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{17 ((2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7

Associez des termes.

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Étape 3.4.7.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{17 (2 x) + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.2

Multipliez $2$ par $17$ .

$\frac{34 x + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{2} x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{1 + 2}) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{3}) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.7

Multipliez $- 2$ par $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 17 (2 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.9

Multipliez $2$ par $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 (x^{1} x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{1 + 2})}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.12

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{3})}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.13

Multipliez $2$ par $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 34 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.14

Additionnez $34 x$ et $34 x$ .

$\frac{- 34 x^{3} + 68 x + 34 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.15

Additionnez $- 34 x^{3}$ et $34 x^{3}$ .

$\frac{68 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.16

Additionnez $68 x$ et $0$ .

$\frac{68 x}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.17

Multipliez $\frac{68 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ par $\frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{2} {(1 - x^{2})}^{16}}$

Étape 3.4.7.18

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{2}$ par ${(1 - x^{2})}^{16}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.7.18.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{2 + 16}}$

Étape 3.4.7.18.2

Additionnez $2$ et $16$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{18}}$

Étape 3.4.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(- x^{2} + 1)}^{18}}$

Étape 3.4.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{18}}$

Étape 3.4.9.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1^{2} - x^{2})}^{18}}$

Étape 3.4.9.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{((1 + x) (1 - x))}^{18}}$

Étape 3.4.9.4

Appliquez la règle de produit à $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$