Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{y} = 1$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y^{\frac{1}{2}} = 1$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.9

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.10

Associez $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.11

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} y' + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.12

Associez $\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ et $y'$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 3.14

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Déterminez un facteur commun $y^{\frac{1}{2}}$ présent dans chaque terme.

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Remplacez $y^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Étape 6.3

Résolvez $u$ .

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Étape 6.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $x {y'}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Étape 6.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Étape 6.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Étape 6.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{1}} + u = 0$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez

$\frac{1}{2 x^{2} y'} + u = 0$

Étape 6.3.2

Soustrayez $\frac{1}{2 x^{2} y'}$ des deux côtés de l’équation.

$u = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Étape 6.4

Remplacez $u$ par $y'$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Étape 6.5

Soustrayez $y^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.6

Multipliez les deux côtés par $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.7.1.1

Simplifiez $\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.7.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.7.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.7.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.7.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.7.1.1.3

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.7.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.7.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x y' = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.7.2.1

Simplifiez $- y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.7.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.7.2.1.2

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $y^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.2.1.2.1

Déplacez $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.7.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 6.7.2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1 + 1}{2}}$

Étape 6.7.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}$

Étape 6.7.2.1.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{1}$

Étape 6.7.2.1.3

Simplifiez $- 1 \cdot 2 y^{1}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y$

Étape 6.7.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x y' = - 2 y$

Étape 6.8

Divisez chaque terme dans $x y' = - 2 y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.8.1

Divisez chaque terme dans $x y' = - 2 y$ par $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Étape 6.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Étape 6.8.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

Étape 6.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y}{x}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$