Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y = y - 7$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y) = \frac{d}{d x} (y - 7)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Étape 2.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} y' + 2 x y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 3.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' + 0$

Étape 3.4

Additionnez $y'$ et $0$ .

$y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{2} y' + 2 x y = y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' + 2 x y - y' = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' - y' = - 2 x y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y' - y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - y' = - 2 x y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 1 = - 2 x y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2} + y' \cdot - 1$ .

$y' (x^{2} - 1) = - 2 x y$

Étape 5.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y' (x^{2} - 1^{2}) = - 2 x y$

Étape 5.5

Factorisez.

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Étape 5.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y' ((x + 1) (x - 1)) = - 2 x y$

Étape 5.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$ par $(x + 1) (x - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$ par $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.6.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$