Calcul infinitésimal Exemples

${(2 + 3 x)}^{4} = x y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(2 + 3 x)}^{4}) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 2 + 3 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + 3 x$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3} \cdot 1$

Étape 2.2.7

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 x y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$12 {(2 + 3 x)}^{3} = y^{2} + 2 x y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Étape 5.2

Simplifiez $12 {(2 + 3 x)}^{3}$ .

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Étape 5.2.1

Réécrivez.

$y^{2} + 2 x y y' = 0 + 0 + 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Étape 5.2.3

Utilisez le théorème du binôme.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (2^{3} + 3 \cdot 2^{2} (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 3 \cdot 2^{2} (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Étape 5.2.4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 3 \cdot 4 (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Étape 5.2.4.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 12 (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Étape 5.2.4.1.4

Multipliez $3$ par $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Étape 5.2.4.1.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Étape 5.2.4.1.6

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 (3^{2} x^{2}) + {(3 x)}^{3})$

Étape 5.2.4.1.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 (9 x^{2}) + {(3 x)}^{3})$

Étape 5.2.4.1.8

Multipliez $9$ par $6$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + {(3 x)}^{3})$

Étape 5.2.4.1.9

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + 3^{3} x^{3})$

Étape 5.2.4.1.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + 27 x^{3})$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 \cdot 8 + 12 (36 x) + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Étape 5.2.5

Simplifiez

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $12$ par $8$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 12 (36 x) + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Étape 5.2.5.2

Multipliez $36$ par $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Étape 5.2.5.3

Multipliez $54$ par $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 12 (27 x^{3})$

Étape 5.2.5.4

Multipliez $27$ par $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3}$

Étape 5.3

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$ par $2 x y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$ par $2 x y$ .

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $96$ et $2$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $96$ .

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 (x y)} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 (x y)} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $432$ et $2$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $432 x$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 (x y)} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 (x y)} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216 x}{x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216 x}{x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.4

Annulez le facteur commun à $648$ et $2$ .

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Étape 5.4.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $648 x^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x^{2}}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.4.3.1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $324 x^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x (y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.6

Annulez le facteur commun à $324$ et $2$ .

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Étape 5.4.3.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $324 x^{3}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{3}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.7

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 5.4.3.1.7.1

Factorisez $x$ à partir de $162 x^{3}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.8

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.4.3.1.8.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

Étape 5.4.3.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.8.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Étape 5.4.3.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Étape 5.4.3.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{- y}{2 x}$

Étape 5.4.3.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} - \frac{y}{2 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} - \frac{y}{2 x}$