Calcul infinitésimal Exemples

${(x + y^{2})}^{10} = 3 x^{2} + 7$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x + y^{2})}^{10}) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 7)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{10}$ et $g (x) = x + y^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + y^{2}$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$6 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$ par $10 {(x + y^{2})}^{9}$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$ par $10 {(x + y^{2})}^{9}$ .

$\frac{10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{10 {(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{10 {(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Étape 5.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{{(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun de ${(x + y^{2})}^{9}$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{{(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Étape 5.1.2.2.2

Divisez $1 + 2 y y'$ par $1$ .

$1 + 2 y y' = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $10$ .

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Étape 5.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Étape 5.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 {(x + y^{2})}^{9}$ .

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{2 (5 {(x + y^{2})}^{9})}$

Étape 5.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{2 (5 {(x + y^{2})}^{9})}$

Étape 5.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + 2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1}{2 y}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1 \cdot \frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Étape 5.3.3.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} + \frac{- (5 {(x + y^{2})}^{9})}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Étape 5.3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{\frac{3 x - (5 {(x + y^{2})}^{9})}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Étape 5.3.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y' = \frac{\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Étape 5.3.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}} \cdot \frac{1}{2 y}$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Multipliez $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ par $\frac{1}{2 y}$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9} (2 y)}$

Étape 5.3.3.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 {(x + y^{2})}^{9} y}$

Étape 5.3.3.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 {(x + y^{2})}^{9} y}$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 y {(x + y^{2})}^{9}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 y {(x + y^{2})}^{9}}$