Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{4}^{18} {(n + 1)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(n + 1)}^{2}$ comme $(n + 1) (n + 1)$ .

$(n + 1) (n + 1)$

Étape 1.2

Développez $(n + 1) (n + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$n (n + 1) + 1 (n + 1)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $n$ par $n$ .

$n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $n$ par $1$ .

$n^{2} + n + n + 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$n^{2} + n + n + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$n^{2} + 2 n + 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{n = 4}^{18} n^{2} + 2 n + 1$

Étape 2

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $n$ égale à $1$ .

$\sum_{n = 4}^{18} n^{2} + 2 n + 1 = \sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1 - \sum_{n = 1}^{3} n^{2} + 2 n + 1$

Étape 3

Évaluez $\sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1$ .

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Étape 3.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1 = \sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 \sum_{n = 1}^{18} n + \sum_{n = 1}^{18} 1$

Étape 3.2

Évaluez $\sum_{n = 1}^{18} n^{2}$ .

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Étape 3.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{18 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)}{6}$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $18$ et $6$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $18 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$ .

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6}$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6 (1)}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6 \cdot 1}$

Étape 3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)}{1}$

Étape 3.2.3.1.2.4

Divisez $3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$ par $1$ .

$3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.2.1

Additionnez $18$ et $1$ .

$3 \cdot 19 (2 \cdot 18 + 1)$

Étape 3.2.3.2.2

Multipliez $3$ par $19$ .

$57 (2 \cdot 18 + 1)$

Étape 3.2.3.2.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$57 (36 + 1)$

Étape 3.2.3.2.4

Additionnez $36$ et $1$ .

$57 \cdot 37$

Étape 3.2.3.2.5

Multipliez $57$ par $37$ .

$2109$

Étape 3.3

Évaluez $2 \sum_{n = 1}^{18} n$ .

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Étape 3.3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(2) (\frac{18 (18 + 1)}{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1.1

Additionnez $18$ et $1$ .

$2 \frac{18 \cdot 19}{2}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $18$ par $19$ .

$2 (\frac{342}{2})$

Étape 3.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{342}{2})$

Étape 3.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$342$

Étape 3.4

Évaluez $\sum_{n = 1}^{18} 1$ .

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Étape 3.4.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3.4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(1) (18)$

Étape 3.4.3

Multipliez $18$ par $1$ .

$18$

Étape 3.5

Additionnez les résultats des additions.

$2109 + 342 + 18$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Additionnez $2109$ et $342$ .

$2451 + 18$

Étape 3.6.2

Additionnez $2451$ et $18$ .

$2469$

Étape 4

Évaluez $\sum_{n = 1}^{3} n^{2} + 2 n + 1$ .

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Étape 4.1

Développez la série pour chaque valeur de $n$ .

$1^{2} + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + 2 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Étape 4.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Étape 4.2.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$4 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Étape 4.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 + 4 + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Étape 4.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 4 + 4 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Étape 4.2.7

Additionnez $4$ et $4$ .

$4 + 8 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Étape 4.2.8

Additionnez $8$ et $1$ .

$4 + 9 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Étape 4.2.9

Additionnez $4$ et $9$ .

$13 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Étape 4.2.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$13 + 9 + 2 \cdot 3 + 1$

Étape 4.2.11

Multipliez $2$ par $3$ .

$13 + 9 + 6 + 1$

Étape 4.2.12

Additionnez $9$ et $6$ .

$13 + 15 + 1$

Étape 4.2.13

Additionnez $15$ et $1$ .

$13 + 16$

Étape 4.2.14

Additionnez $13$ et $16$ .

$29$

Étape 5

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$2469 - 29$

Étape 6

Soustrayez $29$ de $2469$ .

$2440$