Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{2}{3} {(- \frac{1}{5})}^{n - 1}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $n$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{1 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{0} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{5})}^{0}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{5^{0}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot (1 \frac{1^{0}}{5^{0}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{1^{0}}{5^{0}}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1^{0}}{5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.5

Associez.

$\frac{2 \cdot 1^{0}}{3 \cdot 5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.10

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.11

Simplifiez

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{5}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.12

Multipliez $\frac{2}{3} (- \frac{1}{5})$ .

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Étape 2.1.12.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.12.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.13

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.14

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.14.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.14.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot (1 \frac{1^{2}}{5^{2}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.16

Multipliez $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1^{2}}{5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.17

Associez.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1^{2}}{3 \cdot 5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.19

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 25} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.20

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3 \cdot 25} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.21

Multipliez $3$ par $25$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.22

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3}$

Étape 2.1.23

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.23.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{5})}^{3})$

Étape 2.1.23.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{5^{3}})$

Étape 2.1.24

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1^{3}}{5^{3}})$

Étape 2.1.25

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{5^{3}})$

Étape 2.1.26

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{125})$

Étape 2.1.27

Multipliez $\frac{2}{3} (- \frac{1}{125})$ .

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Étape 2.1.27.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{125}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{3 \cdot 125}$

Étape 2.1.27.2

Multipliez $3$ par $125$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{125}{125}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{125}{125} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{125}{125}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{2}{15}$ par $\frac{25}{25}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - (\frac{2}{15} \cdot \frac{25}{25}) + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{2}{15}$ par $\frac{25}{25}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{2}{75}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2}{75} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{375}$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{2}{75}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $125$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Étape 2.2.8

Multipliez $15$ par $25$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Étape 2.2.9

Réorganisez les facteurs de $75 \cdot 5$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 75} - \frac{2}{375}$

Étape 2.2.10

Multipliez $5$ par $75$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{375} - \frac{2}{375}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 125 - 2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Multipliez $2$ par $125$ .

$\frac{250 - 2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$\frac{250 - 50 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{250 - 50 + 10 - 2}{375}$

Étape 2.5

Soustrayez $50$ de $250$ .

$\frac{200 + 10 - 2}{375}$

Étape 2.6

Additionnez $200$ et $10$ .

$\frac{210 - 2}{375}$

Étape 2.7

Soustrayez $2$ de $210$ .

$\frac{208}{375}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{208}{375}$

Forme décimale :

$0.554\overline{6}$