Calcul infinitésimal Exemples

$p = \frac{\sec (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\sec (q) + \csc (q)}{\csc (q)})$

Étape 2

La dérivée de $p$ par rapport à $q$ est $p'$ .

$p'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ est $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ où $f (q) = \sec (q) + \csc (q)$ et $g (q) = \csc (q)$ .

$\frac{\csc (q) \frac{d}{d q} [\sec (q) + \csc (q)] - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (q) + \csc (q)$ par rapport à $q$ est $\frac{d}{d q} [\sec (q)] + \frac{d}{d q} [\csc (q)]$ .

$\frac{\csc (q) (\frac{d}{d q} [\sec (q)] + \frac{d}{d q} [\csc (q)]) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Étape 3.3

La dérivée de $\sec (q)$ par rapport à $q$ est $\sec (q) \tan (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) + \frac{d}{d q} [\csc (q)]) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Étape 3.4

La dérivée de $\csc (q)$ par rapport à $q$ est $- \csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Étape 3.5

La dérivée de $\csc (q)$ par rapport à $q$ est $- \csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) - (\sec (q) + \csc (q)) (- \csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Étape 3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + 1 (\sec (q) + \csc (q)) (\csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Étape 3.6.2

Multipliez $\sec (q) + \csc (q)$ par $1$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + (\sec (q) + \csc (q)) (\csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Étape 3.6.3

Factorisez $\csc (q)$ à partir de $\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + (\sec (q) + \csc (q)) \csc (q) \cot (q)$ .

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Étape 3.6.3.1

Factorisez $\csc (q)$ à partir de $(\sec (q) + \csc (q)) \csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + \csc (q) ((\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Étape 3.6.3.2

Factorisez $\csc (q)$ à partir de $\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + \csc (q) ((\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Étape 3.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.1

Factorisez $\csc (q)$ à partir de $\csc^{2} (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc (q) \csc (q)}$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc (q) \csc (q)}$

Étape 3.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q)}{\csc (q)}$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + \sec (q) \cot (q) + \csc (q) \cot (q)}{\csc (q)}$

Étape 3.8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.2.1

Associez les termes opposés dans $\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + \sec (q) \cot (q) + \csc (q) \cot (q)$ .

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Étape 3.8.2.1.1

Additionnez $- \csc (q) \cot (q)$ et $\csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q) + 0}{\csc (q)}$

Étape 3.8.2.1.2

Additionnez $\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q)$ et $0$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q)}{\csc (q)}$

Étape 3.8.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.2.2.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $\sec (q)$ et $\cot (q)$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \cot (q) \sec (q)}{\csc (q)}$

Étape 3.8.2.2.1.2

Réécrivez $\sec (q) \cot (q)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \frac{\cos (q)}{\sin (q)} \cdot \frac{1}{\cos (q)}}{\csc (q)}$

Étape 3.8.2.2.1.3

Annulez les facteurs communs.

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \frac{1}{\sin (q)}}{\csc (q)}$

Étape 3.8.2.2.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (q)}$ à $\csc (q)$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$p' = \frac{\sec (q) \tan (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

Étape 5

Remplacez $p'$ par $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = \frac{\sec (q) \tan (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$