Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x \sin (x)$ et $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.4.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.6

Multipliez.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.7

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.8

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1.1

Développez $(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.11.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1.2.1

Multipliez $x \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.1.2.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.1.2.3

Multipliez $\cos (x) (x \cos (x))$ .

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Étape 3.11.1.1.2.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.1.2.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.1.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.1.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.2

Déplacez $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.6

Réorganisez les termes.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.1.8

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.3.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.11.3.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{\cos (x) (x + \sin (x)) + 1 (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + \sin (x)$ .

$\frac{(x + \sin (x)) (\cos (x) + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.4

Annulez le facteur commun à $\cos (x) + 1$ et ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

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Étape 3.11.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.4.2

Factorisez $1 + \cos (x)$ à partir de $(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.11.4.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.11.4.3.1

Factorisez $1 + \cos (x)$ à partir de ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 3.11.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 3.11.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$