Calcul infinitésimal Exemples

$u = \sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$

Étape 1

Réécrivez $t^{5}$ comme ${(t^{2})}^{2} t$ .

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Étape 1.1

Factorisez $t^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{4} t}]$

Étape 1.2

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{{(t^{2})}^{2} t}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t} + 4 (t^{2} \sqrt{t})]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[5]{t} + 4 (t^{2} \sqrt{t})$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$

Étape 2.3

Comme $\sqrt[5]{t}$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $\sqrt[5]{t}$ par rapport à $u$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} t^{\frac{1}{2}})]$

Étape 3.2

Multipliez $t^{2}$ par $t^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{2 + \frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{5}{2}}]$

Étape 3.3

Comme $4 t^{\frac{5}{2}}$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $4 t^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u$ est $0$ .

$0 + 0$

Étape 4

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$