Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = x^{2} \log_{3} (x - π)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \log_{3} (x - π)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x - π)] + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{3} (x)$ et $g (x) = x - π$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - π$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\log_{3} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - π$ .

$x^{2} (\frac{1}{(x - π) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{(x - π) \ln (3)}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π] + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [- π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (1 + 0) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} \cdot 1 + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \log_{3} (x - π) (2 x)$

Étape 4

Associez $\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)}$ et $\log_{3} (x - π) (2 x)$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 4.1

Déplacez $\log_{3} (x - π)$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + 2 x \log_{3} (x - π)$

Étape 4.2

Pour écrire $2 x \log_{3} (x - π)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + 2 x \log_{3} (x - π) \cdot \frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$

Étape 4.3

Associez $2 x \log_{3} (x - π)$ et $\frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \frac{2 x \log_{3} (x - π) ((x - π) \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) ((x - π) \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) (x \ln (3) - π \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) (x \ln (3) - π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $2 \log_{3} (x - π)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{x^{2} + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (x \ln (3) - π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (x \ln (3)) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Étape 5.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} + \ln (3) x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) x + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + \ln (3) (x \cdot x) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Étape 5.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + \ln (3) x^{2} \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Étape 5.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} + \ln (3) x^{2} \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) - x π \log_{3} ({(x - π)}^{2}) \ln (3)}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) - π x \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2})}{x \ln (3) - π \ln (3)}$