Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{9}}{x^{6}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{9}$ et $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [x^{9}] - x^{9} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$\frac{x^{6} (9 x^{8}) - x^{9} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{x^{6} (9 x^{8}) - x^{9} (6 x^{5})}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 x^{6} x^{8} - x^{9} (6 x^{5})}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $x^{6}$ par $x^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.2.1

Déplacez $x^{8}$ .

$\frac{9 (x^{8} x^{6}) - x^{9} (6 x^{5})}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{8 + 6} - x^{9} (6 x^{5})}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 3.1.1.2.3

Additionnez $8$ et $6$ .

$\frac{9 x^{14} - x^{9} (6 x^{5})}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 3.1.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 x^{14} - 1 \cdot 6 x^{9} x^{5}}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 3.1.1.4

Multipliez $x^{9}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.4.1

Déplacez $x^{5}$ .

$\frac{9 x^{14} - 1 \cdot 6 (x^{5} x^{9})}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 3.1.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{14} - 1 \cdot 6 x^{5 + 9}}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 3.1.1.4.3

Additionnez $5$ et $9$ .

$\frac{9 x^{14} - 1 \cdot 6 x^{14}}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 3.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{9 x^{14} - 6 x^{14}}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 3.1.2

Soustrayez $6 x^{14}$ de $9 x^{14}$ .

$\frac{3 x^{14}}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{14}}{x^{6 \cdot 2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{3 x^{14}}{x^{12}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{14}$ et $x^{12}$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x^{12}$ à partir de $3 x^{14}$ .

$\frac{x^{12} (3 x^{2})}{x^{12}}$

Étape 3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{12} (3 x^{2})}{x^{12} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{12} (3 x^{2})}{x^{12} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2}}{1}$

Étape 3.2.2.2.4

Divisez $3 x^{2}$ par $1$ .

$3 x^{2}$