Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[4]{\frac{4 x}{4 x - 3}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{\frac{4 x}{4 x - 3}}$ comme ${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ et $g (x) = \frac{4 x}{4 x - 3}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{4 x}{4 x - 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{4 x}{4 x - 3}$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Étape 4.6.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{4 x - 3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}]$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} (4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}])$

Étape 4.6.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.6.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}]$

Étape 4.6.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.6.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}]$

Étape 4.6.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}]$

Étape 4.6.3.3

Multipliez ${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}}$ par $1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 4 x - 3$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8

Différenciez.

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Étape 4.8.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{(4 x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8.2

Multipliez $4 x - 3$ par $1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8.6

Multipliez $4$ par $1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.8.8.1

Additionnez $4$ et $0$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8.8.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - 4 x}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8.8.3

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{0 - 3}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.8.8.4.1

Soustrayez $3$ de $0$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{- 3}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.8.8.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} (- \frac{3}{{(4 x - 3)}^{2}})$

Étape 4.9

Simplifiez

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Étape 4.9.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

${(\frac{4 x - 3}{4 x})}^{\frac{3}{4}} (- \frac{3}{{(4 x - 3)}^{2}})$

Étape 4.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 x - 3}{4 x}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}}{{(4 x)}^{\frac{3}{4}}} (- \frac{3}{{(4 x - 3)}^{2}})$

Étape 4.9.3

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}}} (- \frac{3}{{(4 x - 3)}^{2}})$

Étape 4.9.4

Associez des termes.

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Étape 4.9.4.1

Multipliez $\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}}}$ par $\frac{3}{{(4 x - 3)}^{2}}$ .

$- \frac{{(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}} \cdot 3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.9.4.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}$ .

$- \frac{3 \cdot {(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 4.9.4.3

Placez ${(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{2} {(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4}}}$

Étape 4.9.4.4

Multipliez ${(4 x - 3)}^{2}$ par ${(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.9.4.4.1

Déplacez ${(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} ({(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{2})}$

Étape 4.9.4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4} + 2}}$

Étape 4.9.4.4.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}}}$

Étape 4.9.4.4.4

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}}}$

Étape 4.9.4.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{\frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}}}$

Étape 4.9.4.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.4.4.6.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{\frac{- 3 + 8}{4}}}$

Étape 4.9.4.4.6.2

Additionnez $- 3$ et $8$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}$